円順列 | シグにゃんの数学ブログ

円順列とは

円順列 … ものを円形に並べる順列

普通の順列と何が違うのかな？

まずは円順列のルールを知ろう！

円順列のポイント

回転して並びが同じになるものは同じ並び方とみなす

具体例を使って考えてみよう！

円を４等分した各部分を４色で塗り分けるとき，塗り方は何通りか

例えば，下の４つは
赤に着目すると，
時計回りに　青→緑→黄　になっている

回転すると同じ並びになるので，
下の４つは円順列として同じ並びとみなす

順列の復習はこれ↓

円順列ってどうやって考えたらいいのかな？

回転したら同じ並びができてしまうから，

回転しないように１つを固定して考えるよ！

円順列のポイント

１つを固定したら順列で考えることができる

赤を固定すると
$A，B，C$ を３色で塗り分ければよい

３色を $A，B，C$ に並べるので
$3!=3・2・1=6$ (通り)

全ての塗り方を下に示す

一つを固定しておけば，回転して同じ並びになることはないね！

異なる $n$ 個の円順列の総数は　$(n-1)!$

異なる $n$ 個のうち
１つを固定して考えるので
その１つを除いた $(n-1)$ 個の順列が
円順列の総数である

円を５等分した各部分を５色で塗り分けるとき，塗り方は何通りか

１色を固定すると
残り４色の順列になるので

$(5-1)!=4!=4・3・2・1=24$ (通り)

$(n-1)!$ の $-1$ は固定した１つを除いたということ！

理屈を理解してから解くことが大切だね！

● 円順列のルール

　回転して並びが同じになるものは同じ並び方とみなす

● 円順列の考え方

　回転しないように１つを固定して順列として考える

● 円順列の総数

　異なる $n$ 個の円順列の総数は　$(n-1)!$

　$n$ 個のうち１つを固定した残りの $(n-1)$ 個の順列

次のものの総数を求めよ。
(1)　６人が輪の形に並ぶときの並び方
(2)　色の異なる７個の玉を円形に並べる置き方

(1)　６人が輪の形に並ぶときの並び方

　$(6-1)!=5!=5・4・3・2・1=120$ (通り)

(2)　色の異なる７個の玉を円形に並べる置き方

　$(7-1)!=6!=6・5・4・3・2・1=720$ (通り)

$(n-1)!$ の $-1$ の意味をきちんとおさえれば完璧！