「分散」の求め方は２種類ある！
使い分けられるようにしよう！
分散
「分散」は散らばり度合を表すもの！
基本の求め方はこうだったね！
詳しい解説はこれ↓
変量 $x$ のデータ $x_1$，$x_2$，$x_3$，……，$x_n$
平均値を $\bar{x}$ とすると，分散 $s^2$ は
$\displaystyle s^2=\frac{1}{n}\{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+(x_3-\bar{x})^2+……+(x_n-\bar{x})^2\}$
※ 標準偏差を $s$ にすると，分散が $s^2$ になる（下で解説）
次のデータの分散を求めよ
$x 1 3 5 7 9$
| $x_1$ | $x_2$ | $x_3$ | $x_4$ | $x_5$ | 合計 | 平均 | |
| $x$ | $1$ | $3$ | $5$ | $7$ | $9$ | $25$ | $\bar{x}=5$ |
| 偏差 $x-\bar{x}$ | $-4$ | $-2$ | $0$ | $2$ | $4$ | $0$ | / |
| 偏差の２乗 $(x-\bar{x})^2$ | $16$ | $4$ | $0$ | $4$ | $16$ | $40$ | $s^2=8$ |
偏差の２乗の和が $40$
(分散)=(偏差の２乗の平均) なので
分散 $\displaystyle s^2=\frac{1}{5}・40=8$
表を作ると「分散」は簡単に解けるね！
分散と平均値の関係式
「分散」は「偏差の２乗の平均」で求めることができるけど，
別の求め方についても学ぼう！
上で示した「分散」の式を変形する
$\displaystyle s^2=\frac{1}{n}\{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+(x_3-\bar{x})^2+……(x_n-\bar{x})^2\}$
$\displaystyle =\frac{1}{n}[\{x_1^2-2x_1\bar{x}+(\bar{x})^2\}+\{x_2^2-2x_2\bar{x}+(\bar{x})^2\}+……+\{x_n^2-2x_n\bar{x}+(\bar{x})^2\}]$
$\displaystyle =\frac{1}{n}\{(x_1^2+x_2^2+……+x_n^2)-2\bar{x}(x_1+x_2+……+x_n)+n(\bar{x})^2\}$
$\displaystyle =\frac{1}{n}(x_1^2+x_2^2+……+x_n^2)-2\bar{x}・\frac{1}{n}(x_1+x_2+……+x_n)+(\bar{x})^2$
ここで $\displaystyle\overline{x}=\frac{1}{n}(x_1+x_2+……+x_n)$ … $x$ の平均値
$\displaystyle\overline{x^2}=\frac{1}{n}(x_1^2+x_2^2+……+x_n^2)$ … $x^2$ の平均値
$\displaystyle s^2=$$\displaystyle\frac{1}{n}(x_1^2+x_2^2+……+x_n^2)$$-2\overline{x}・$$\displaystyle\frac{1}{n}(x_1+x_2+……+x_n)$$+(\overline{x})^2$
$\displaystyle =$$\overline{x^2}$$-2\overline{x}・$$\overline{x}$$+(\overline{x})^2$
$\displaystyle =\overline{x^2}-2(\overline{x})^2+(\overline{x})^2$
$\displaystyle =\overline{x^2}-(\overline{x})^2$
$\overline{x^2}$ と $(\overline{x})^2$ が紛らわしい！
$\overline{x^2}$ と $(\overline{x})^2$ は違うので気を付けよう！
$\overline{x^2}$ は $x^2$ の平均値
$(\overline{x})^2$ は $x$ の平均値の２乗
だよ！
平均値が小数になるときの分散の計算
この式はどういうときに使えばいいのかな？
それをこれから説明するよ！
とりあえず，これを解いてみて！
次のデータの分散を求めよ
$x 1 3 5 6 9$
| $x_1$ | $x_2$ | $x_3$ | $x_4$ | $x_5$ | 合計 | 平均 | |
| $x$ | $1$ | $3$ | $5$ | $6$ | $9$ | $24$ | $\bar{x}=4.8$ |
| 偏差 $x-\bar{x}$ | $-3.8$ | $-1.8$ | $0.2$ | $1.2$ | $4.2$ | $0$ | / |
| 偏差の２乗 $(x-\bar{x})^2$ | $14.44$ | $3.24$ | $0.04$ | $1.44$ | $17.64$ | $36.8$ | $s^2=7.36$ |
偏差の２乗の和が $36.8$
(分散)=(偏差の２乗の平均) なので
分散 $\displaystyle s^2=\frac{1}{5}・36.8=7.36$
平均値が $4.8$ になるから，計算が大変すぎる…
平均値が小数になるときは，
(分散)=(偏差の２乗の平均) を使って
「分散」を計算することが難しくなるよ！
分散と平均値の関係の式を用いて分散を求める
$(分散)=(x^2の平均値)-(xの平均値)^2$
を使って分散を求めてみよう！
次のデータの分散を求めよ
$x 1 3 5 6 9$
| $x_1$ | $x_2$ | $x_3$ | $x_4$ | $x_5$ | 合計 | 平均 | |
| $x$ | $1$ | $3$ | $5$ | $6$ | $9$ | $24$ | $\overline{x}=4.8$ |
| $x^2$ | $1$ | $9$ | $25$ | $36$ | $81$ | $152$ | $\overline{x^2}=30.4$ |
$\overline{x}=4.8$，$\overline{x^2}=30.4$ より
分散 $s^2=\overline{x^2}-(\overline{x})^2$
$ =30.4-(4.8)^2$
$ =30.4-23.04$
$ =7.36$
平均値が小数になるときは，
$(分散)=(x^2の平均値)-(xの平均値)^2$
を使った方が「分散」が求めやすいね！
$(分散)=(偏差の２乗の平均)$
$(分散)=(x^2の平均値)-(xの平均値)^2$
まとめ
● 分散の求め方①
$(分散)=(偏差の２乗の平均)$
● 分散の求め方②
$(分散)=(x^2の平均値)-(xの平均値)^2$
● 分散の求め方の使い分け
平均値が整数のときは $(分散)=(偏差の２乗の平均)$
平均値が小数のときは $(分散)=(x^2の平均値)-(xの平均値)^2$
平均値の値によって使い分けられるようにしよう！
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