分散と標準偏差

偏差

変量 $x$ のデータ $x_1$，$x_2$，$x_3$，……，$x_n$

平均値を $\bar{x}$ とすると

$x_1-\bar{x}$，$x_2-\bar{x}$，$x_3-\bar{x}$，……，$x_n-\bar{x}$ が偏差

	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	合計	平均
$x$	$1$	$3$	$5$	$7$	$9$	$25$	$\bar{x}=5$
偏差 $x-\bar{x}$	$-4$	$-2$	$0$	$2$	$4$	$0$	/

表の通り，偏差の和は $0$ になる

分散

変量 $x$ のデータ $x_1$，$x_2$，$x_3$，……，$x_n$

平均値を $\bar{x}$ とすると，分散 $s^2$ は

$\displaystyle s^2=\frac{1}{n}\{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+(x_3-\bar{x})^2+……(x_n-\bar{x})^2\}$

※ 標準偏差を $s$ にすると，分散が $s^2$ になる（下で解説）

	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	合計	平均
$x$	$1$	$3$	$5$	$7$	$9$	$25$	$\bar{x}=5$
偏差 $x-\bar{x}$	$-4$	$-2$	$0$	$2$	$4$	$0$	/
偏差の２乗 $(x-\bar{x})^2$	$16$	$4$	$0$	$4$	$16$	$40$	$s^2=8$

偏差の２乗の和が　$40$

(分散)=(偏差の２乗の平均) なので

分散 $\displaystyle s^2=\frac{1}{5}・40=8$

分散はデータの散らばり度合

	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	合計	平均
$x$	$1$	$3$	$5$	$7$	$9$	$25$	$\bar{x}=5$
偏差 $x-\bar{x}$	$-4$	$-2$	$0$	$2$	$4$	$0$	/
偏差の２乗 $(x-\bar{x})^2$	$16$	$4$	$0$	$4$	$16$	$40$	$s_x^2=8$

偏差の２乗の和が　$40$

(分散)=(偏差の２乗の平均) なので

$x$ の分散 $\displaystyle s_x^2=\frac{1}{5}・40=8$

	$y_1$	$y_2$	$y_3$	$y_4$	$y_5$	合計	平均
$y$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$25$	$\bar{y}=5$
偏差 $y-\bar{y}$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$0$	/
偏差の２乗 $(y-\bar{y})^2$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$10$	$s_y^2=2$

偏差の２乗の和が　$10$

(分散)=(偏差の２乗の平均) なので

$y$ の分散 $\displaystyle s_y^2=\frac{1}{5}・10=2$

　

$x$ の分散 $s_x^2=8$，$y$ の分散 $s_y^2=2$

$s_x^2>s_y^2$ より　$x$ のデータの方が散らばり度合が大きい

　

$x$ のデータの方が平均から離れた値が多い（散らばり度合が大きい）

平均から離れた値は偏差の２乗が大きくなる

偏差の２乗が大きくなると分散が大きくなる

という仕組み

標準偏差

分散を $s^2$ にすると，標準偏差は $s$ になる

標準偏差 $s=\sqrt{s^2}$

	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	合計	平均
$x$	$1$	$3$	$5$	$7$	$9$	$25$	$\bar{x}=5$
偏差 $x-\bar{x}$	$-4$	$-2$	$0$	$2$	$4$	$0$	/
偏差の２乗 $(x-\bar{x})^2$	$16$	$4$	$0$	$4$	$16$	$40$	$s^2=8$

偏差の２乗の和が　$40$

(分散)=(偏差の２乗の平均) なので

分散 $\displaystyle s^2=\frac{1}{5}・40=8$

標準偏差 $s=\sqrt{8}=2\sqrt{2}≒2.8$

　

分散から標準偏差が求まるので，標準偏差も散らばり度合を表す

標準偏差の必要性

 

$(分散)=(偏差の２乗の平均)$ なので

分散はデータを２乗して出てきた値なので単位がつけられない

一方

$(標準偏差)=\sqrt{(分散)}$ なので

２乗して出てきた分散に $\sqrt{　}$ をつけることで

元通り単位がつけられるようになる

	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	合計	平均
$x$	$1$	$3$	$5$	$7$	$9$	$25$	$\bar{x}=5$
偏差 $x-\bar{x}$	$-4$	$-2$	$0$	$2$	$4$	$0$	/
偏差の２乗 $(x-\bar{x})^2$	$16$	$4$	$0$	$4$	$16$	$40$	$s^2=8$

偏差の２乗の和が　$40$

(分散)=(偏差の２乗の平均) なので

分散 $\displaystyle s^2=\frac{1}{5}・40=8$　←単位なし

標準偏差 $s=\sqrt{8}=2\sqrt{2}≒2.8(点)$　←単位あり

まとめ

● 偏差

　各値から平均値を引いた差　$x-\bar{x}$　($\bar{x}$ は平均値)

● 分散 $s^2$

　$\displaystyle(分散)=(偏差の２乗の平均)=\frac{(偏差の２乗の総和)}{(データの大きさ)}$

　$\displaystyle s^2=\frac{1}{n}\{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+(x_3-\bar{x})^2+……(x_n-\bar{x})^2\}$

● 標準偏差 $s$

　$(標準偏差)=\sqrt{(分散)}$

● 分散と標準偏差は散らばり度合を表す

　分散と標準偏差が大きいと散らばり度合が大きい