分数の数列の和

部分分数分解

「部分分数分解」とは

ある分数を分数の和や差で表すこと

簡単に言うと

通分の逆

通分の計算の例として

$\displaystyle{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3}{2\cdot3}-\frac{2}{2\cdot3}=\frac{1}{2\cdot3}}$

この逆の計算が「部分分数分解」と考えよう

$\displaystyle{\frac{1}{2\cdot3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}$

これを参考にして他の例をみてみると

$\displaystyle{\frac{1}{3\cdot4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}}$

左辺も右辺も $\displaystyle{\frac{1}{12}}$ となる

$\displaystyle{\frac{1}{4\cdot5}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}}$

左辺も右辺も $\displaystyle{\frac{1}{20}}$ となる

このことを一般化すると

$\displaystyle{\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}}$

この式が正しいかどうかを確認してみると

\begin{eqnarray} 右辺 &=& \frac{k+1}{k(k+1)}-\frac{k}{k(k+1)} \\\\ &=& \frac{(k+1)-k}{k(k+1)} \\\\ &=& \frac{1}{k(k+1)} \\\\ &=& 左辺 \end{eqnarray}

上で考えた「部分分数分解」と同様に考えると

$\displaystyle{\frac{1}{3\cdot5}=\frac{1}{3}-\frac{1}{5}}$

になりそうだが，この式が正しいか考えてみよう

右辺を計算してみると

$\displaystyle{\frac{1}{3}-\frac{1}{5}=\frac{5}{3\cdot5}-\frac{3}{3\cdot5}=\frac{2}{3\cdot5}}$

となり左辺と一致しない

この結果より，左辺と右辺を一致させるには右辺を $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ 倍する必要があり

$\displaystyle{\frac{1}{3\cdot5}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)}$

という「部分分数分解」となる

同様に考えると

$\displaystyle{\frac{1}{4\cdot6}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{6}\right)}$

$\displaystyle{\frac{1}{5\cdot7}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right)}$

右辺の $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ は分母の $2$ 数の差であると考えればよい

　

(1)　$\displaystyle{\frac{1}{2\cdot5}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{5}\right)}$

　　$2$ と $5$ の差が $3$ なので $\displaystyle{\frac{1}{3}}$ をかける

(2)　$\displaystyle{\frac{1}{3\cdot7}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{7}\right)}$

　$3$ と $7$ の差が $4$ なので $\displaystyle{\frac{1}{4}}$ をかける

　

簡単に一般化すると以下のようになる

　

　

分数の数列の和

\begin{eqnarray} S &=& \frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\cdots\cdots+\frac{1}{n(n+1)} \\\\ &=& \left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots\cdots+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) \\\\ &=& 1-\frac{1}{n+1} \\\\ &=& \frac{n+1}{n+1}-\frac{1}{n+1} \\\\ &=& \frac{n}{n+1} \end{eqnarray}

　

　

\begin{eqnarray} S &=& \frac{1}{1\cdot3}+\frac{1}{3\cdot5}+\frac{1}{5\cdot7}+\cdots\cdots+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} \\\\ &=& \frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right)+\cdots\cdots+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right) \\\\ &=& \frac{1}{2}\left\{\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right)+\cdots\cdots+\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)\right\} \\\\ &=& \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2n+1}\right) \\\\ &=& \frac{1}{2}\left(\frac{2n+1}{2n+1}-\frac{1}{2n+1}\right) \\\\ &=& \frac{n}{2n+1} \end{eqnarray}

　

　$\displaystyle{\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}}$ については

　分母の差が　$(2n+1)-(2n-1)=2$　なので

$\displaystyle{\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)}$

Σを用いた分数の和の計算

　

\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{20}\frac{1}{k^2+k} &=& \sum_{k=1}^{20}\frac{1}{k(k+1)} \\\\ &=& \frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\cdots\cdots+\frac{1}{20\cdot21} \\\\ &=& \left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots\cdots+\left(\frac{1}{20}-\frac{1}{21}\right) \\\\ &=& 1-\frac{1}{21} \\\\ &=& \frac{20}{21} \\\\ \end{eqnarray}

　

　

以下のように，Σの段階で「部分分数分解」してもよい

\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{20}\frac{1}{k^2+k} &=& \sum_{k=1}^{20}\frac{1}{k(k+1)} \\\\ &=& \sum_{k=1}^{20}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right) \\\\ &=& \left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots\cdots+\left(\frac{1}{20}-\frac{1}{21}\right) \\\\ &=& 1-\frac{1}{21} \\\\ &=& \frac{20}{21} \\\\ \end{eqnarray}

まとめ

● 部分分数分解

　$○<□$ のとき　　　$\displaystyle{\frac{1}{○\cdot□}=\frac{1}{□-○}\left(\frac{1}{○}-\frac{1}{□}\right)}$

● 分数の数列の和

　部分分数分解をすることで簡単に計算できる