高校数学Ⅱで学ぶ『分数式の基本的な計算』をまとめて解説します！
基本的には、「普通の分数」の計算を思い出せば大丈夫です！
この投稿を見て、『分数式の基本的な計算』が確実にできるようにしましょう！
分数式のかけ算
分数式のかけ算は「分母どうし、分子どうし」かけ算をします。
分数のかけ算 $\displaystyle{\frac{2}{3}\times\frac{5}{7}=\frac{10}{21}}$ と同じ
$\displaystyle{\frac{2}{x+1}\times\frac{3x-1}{2x-1}=\frac{6x-2}{(x+1)(2x-1)}}$
分数式の割り算
分数式の割り算は「分子どうしをひっくり返してかけ算」をします。
分数の割り算 $\displaystyle{\frac{2}{3}\div\frac{3}{5}=\frac{2}{3}\times\frac{5}{3}=\frac{10}{9}}$ と同じ
$\displaystyle{\frac{2}{x+1}\div\frac{3x-1}{2x-1}=\frac{2}{x+1}\times\frac{2x-1}{3x-1}=\frac{4x-2}{(x+1)(3x-1)}}$
分数式の約分
分数式の約分は、
「共通因数で分母と分子を割る」
「必要なら分母と分子をそれぞれ因数分解する」
$\displaystyle{\frac{x^2-x}{x^2-1}=\frac{x(x-1)}{(x+1)(x-1)}=\frac{x}{x+1}}$
分母と分子の $(x-1)$ が共通因数として約分される
分数式の足し算・引き算(分母が同じ)
分母が同じ分数式の足し算・引き算は「分母はそのままで、分子は足し算・引き算」
分数の足し算 $\displaystyle{\frac{2}{5}+\frac{1}{5}=\frac{3}{5}}$
分数の引き算 $\displaystyle{\frac{2}{5}-\frac{1}{5}=\frac{1}{5}}$ と同じ
$\displaystyle{\frac{x}{x+1}+\frac{2}{x+1}=\frac{x+2}{x+1}}$
$\displaystyle{\frac{x}{x+1}-\frac{x-1}{x+1}=\frac{x-(x-1)}{x+1}\frac{1}{x+1}}$
※引き算は、後ろの分子の符号に注意（かっこをつけて計算）
分数式の足し算・引き算(分母が異なる)
分母が異なる分数式の足し算・引き算は「分母は通分して、分子は足し算・引き算」
分数の足し算 $\displaystyle{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{1\times3}{2\times3}+\frac{1\times2}{3\times2}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}}$
分数の引き算 $\displaystyle{\frac{1}{4}-\frac{1}{6}=\frac{1}{2\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}=\frac{1\times3}{2\cdot2\times3}+\frac{1\times2}{2\cdot3\times2}=\frac{3}{12}+\frac{2}{12}=\frac{1}{12}}$
通分は「分母の最小公倍数になるように分母をそろえる」
$\displaystyle{\frac{2}{x+1}+\frac{3}{x-2}}$
$=\displaystyle{\frac{2(x-2)}{(x+1)(x-2)}+\frac{3(x+1)}{(x-2)(x+1)}}$
$=\displaystyle{\frac{2(x-2)+3(x+1)}{(x+1)(x-2)}}$
$=\displaystyle{\frac{5x-1}{(x+1)(x-2)}}$
問題
次の式を計算せよ。
(1) $\displaystyle{\frac{2a^3}{x^3y^2}\times\frac{3xy}{4a}}$
(2) $\displaystyle{\frac{x^2+x}{x+2}÷\frac{x+1}{x^2-4}}$
(3) $\displaystyle{\frac{2}{x+1}+\frac{1}{x-3}}$
(4) $\displaystyle{\frac{2}{x^2-1}-\frac{1}{x^2+x}}$
(1) $\displaystyle{\frac{2a^3}{x^3y^2}\times\frac{3xy}{4a}=\frac{3a^2}{2x^2y}}$
(2) $\displaystyle{\frac{x^2+x}{x+2}÷\frac{x+1}{x^2-4}}$
$\displaystyle{=\frac{x(x+1)}{x+2}\times\frac{(x-2)(x+2)}{x+1}}$
$=x(x-2)$
(3) $\displaystyle{\frac{2}{x+1}+\frac{1}{x-3}}$
$\displaystyle{=\frac{2(x-3)}{(x+1)(x-3)}+\frac{x+1}{(x+1)(x-3)}}$
$\displaystyle{=\frac{2(x-3)+(x+1)}{(x+1)(x-3)}}$
$\displaystyle{=\frac{3x-5}{(x+1)(x-3)}}$
(4) $\displaystyle{\frac{2}{x^2-1}-\frac{1}{x^2+x}}$
$\displaystyle{=\frac{2}{(x+1)(x-1)}-\frac{1}{x(x+1)}}$
$\displaystyle{=\frac{2x}{x(x+1)(x-1)}-\frac{x-1}{x(x+1)(x-1)}}$
$\displaystyle{=\frac{2x-(x-1)}{x(x+1)(x-1)}}$
$\displaystyle{=\frac{x+1}{x(x+1)(x-1)}}$
$\displaystyle{=\frac{1}{x(x-1)}}$
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