分数式の計算

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分数式の計算まとめ 式と証明

高校数学Ⅱで学ぶ『分数式の基本的な計算』をまとめて解説します!

基本的には、「普通の分数」の計算を思い出せば大丈夫です!

この投稿を見て、『分数式の基本的な計算』が確実にできるようにしましょう!

分数式のかけ算

分数式のかけ算は「分母どうし、分子どうし」かけ算をします。

分数のかけ算 $\displaystyle{\frac{2}{3}\times\frac{5}{7}=\frac{10}{21}}$ と同じ

例題

 
 $\displaystyle{\frac{2}{x+1}\times\frac{3x-1}{2x-1}=\frac{6x-2}{(x+1)(2x-1)}}$

分数式の割り算

分数式の割り算は「分子どうしをひっくり返してかけ算」をします。

分数の割り算 $\displaystyle{\frac{2}{3}\div\frac{3}{5}=\frac{2}{3}\times\frac{5}{3}=\frac{10}{9}}$ と同じ

例題

 
 $\displaystyle{\frac{2}{x+1}\div\frac{3x-1}{2x-1}=\frac{2}{x+1}\times\frac{2x-1}{3x-1}=\frac{4x-2}{(x+1)(3x-1)}}$

分数式の約分

分数式の約分は、
共通因数で分母と分子を割る
必要なら分母と分子をそれぞれ因数分解する

例題

 
 $\displaystyle{\frac{x^2-x}{x^2-1}=\frac{x(x-1)}{(x+1)(x-1)}=\frac{x}{x+1}}$

 分母と分子の $(x-1)$ が共通因数として約分される

分数式の足し算・引き算(分母が同じ)

分母が同じ分数式の足し算・引き算は「分母はそのままで、分子は足し算・引き算

分数の足し算 $\displaystyle{\frac{2}{5}+\frac{1}{5}=\frac{3}{5}}$

分数の引き算 $\displaystyle{\frac{2}{5}-\frac{1}{5}=\frac{1}{5}}$ と同じ

例題

 
 $\displaystyle{\frac{x}{x+1}+\frac{2}{x+1}=\frac{x+2}{x+1}}$

 $\displaystyle{\frac{x}{x+1}-\frac{x-1}{x+1}=\frac{x-(x-1)}{x+1}\frac{1}{x+1}}$

 ※引き算は、後ろの分子の符号に注意(かっこをつけて計算)

分数式の足し算・引き算(分母が異なる)

分母が異なる分数式の足し算・引き算は「分母は通分して、分子は足し算・引き算

分数の足し算 $\displaystyle{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{1\times3}{2\times3}+\frac{1\times2}{3\times2}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}}$

分数の引き算 $\displaystyle{\frac{1}{4}-\frac{1}{6}=\frac{1}{2\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}=\frac{1\times3}{2\cdot2\times3}+\frac{1\times2}{2\cdot3\times2}=\frac{3}{12}+\frac{2}{12}=\frac{1}{12}}$

通分は「分母の最小公倍数になるように分母をそろえる

例題

 
  $\displaystyle{\frac{2}{x+1}+\frac{3}{x-2}}$

 $=\displaystyle{\frac{2(x-2)}{(x+1)(x-2)}+\frac{3(x+1)}{(x-2)(x+1)}}$

 $=\displaystyle{\frac{2(x-2)+3(x+1)}{(x+1)(x-2)}}$

 $=\displaystyle{\frac{5x-1}{(x+1)(x-2)}}$

問題

問題

次の式を計算せよ。
(1) $\displaystyle{\frac{2a^3}{x^3y^2}\times\frac{3xy}{4a}}$
(2) $\displaystyle{\frac{x^2+x}{x+2}÷\frac{x+1}{x^2-4}}$
(3) $\displaystyle{\frac{2}{x+1}+\frac{1}{x-3}}$
(4) $\displaystyle{\frac{2}{x^2-1}-\frac{1}{x^2+x}}$

 

解答

(1) $\displaystyle{\frac{2a^3}{x^3y^2}\times\frac{3xy}{4a}=\frac{3a^2}{2x^2y}}$

(2) $\displaystyle{\frac{x^2+x}{x+2}÷\frac{x+1}{x^2-4}}$
  $\displaystyle{=\frac{x(x+1)}{x+2}\times\frac{(x-2)(x+2)}{x+1}}$
  $=x(x-2)$

(3) $\displaystyle{\frac{2}{x+1}+\frac{1}{x-3}}$
  $\displaystyle{=\frac{2(x-3)}{(x+1)(x-3)}+\frac{x+1}{(x+1)(x-3)}}$
  $\displaystyle{=\frac{2(x-3)+(x+1)}{(x+1)(x-3)}}$
  $\displaystyle{=\frac{3x-5}{(x+1)(x-3)}}$

(4) $\displaystyle{\frac{2}{x^2-1}-\frac{1}{x^2+x}}$
  $\displaystyle{=\frac{2}{(x+1)(x-1)}-\frac{1}{x(x+1)}}$
  $\displaystyle{=\frac{2x}{x(x+1)(x-1)}-\frac{x-1}{x(x+1)(x-1)}}$
  $\displaystyle{=\frac{2x-(x-1)}{x(x+1)(x-1)}}$
  $\displaystyle{=\frac{x+1}{x(x+1)(x-1)}}$
  $\displaystyle{=\frac{1}{x(x-1)}}$  

 

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