場合分けによる絶対値記号のはずし方

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場合分けによる絶対値のはずし方 数学Ⅰ

絶対値記号のはずし方の基本

絶対値ってそもそも何だっけ?

絶対値は「原点からの距離を表す記号」だよ!

絶対値の基本は下のリンクから学べるよ!

絶対値
高校数学で最初につまずくのは絶対値! 絶対値のおさえるべきポイントは 『絶対値の中の符号によって絶対値のはずし方が異なる』ということ! 絶対値のはずし方をマスターして,絶対値の理解を深めよう! この記事を読んだら,絶対値の基本はばっちり!
絶対値のはずし方の基本

 

絶対値の中の符号が分かれば,絶対値をはずすことができるよ!

場合分けによる絶対値記号のはずし方

問題
次の式について,$x$ の値によって場合分けして絶対値の記号をはずせ。
(1) $|x-1|$
(2) $|2x+4|$
(2) $|3-x|$

 

絶対値の中に $x$ が含まれているから,絶対値の中の符号がわからない…

こういうときに必要なのが『場合分け』だよ!

絶対値の中が『正のとき』と『負のとき』で場合分けしよう!

解答

(1) $|x-1|$

 絶対値の中 $x-1$ が正($0$ 以上)のとき

 $x-1≧0$ すなわち $x≧1$ のとき

$|x-1|=x-1$ 
そのままはずす

 絶対値の中 $x-1$ が負のとき

 $x-1<0$ すなわち $x < 1$ のとき

$|x-1|=-(x-1)=-x+1$ 
マイナスをつけてはずす

 まとめると

\begin{align} &|x-1|=\left\{ \begin{array}{ll} x-1  (x≧1 のとき) \\ -x+1 (x<1 のとき) \end{array} \right.\\\\ \end{align}

(2) $|2x+4|$

 絶対値の中 $2x+4$ が正($0$ 以上)のとき

 $2x+4≧0$ すなわち $x≧-2$ のとき

$|2x+4|=2x+4$ 
そのままはずす

 絶対値の中 $2x+4$ が負のとき

 $2x+4<0$ すなわち $x < -2$ のとき

$|2x+4|=-(2x+4)=-2x-4$ 
マイナスをつけてはずす

 まとめると

\begin{align} &|2x+4|=\left\{ \begin{array}{ll} 2x+4  (x≧-2 のとき) \\ -2x-4 (x<-2 のとき) \end{array} \right.\\\\ \end{align}

(3) $|3-x|$

 絶対値の中 $3-x$ が正($0$ 以上)のとき

 $3-x≧0$ すなわち $x≦3$ のとき

$|3-x|=3-x$ 
そのままはずす

 絶対値の中 $3-x$ が負のとき

 $3-x<0$ すなわち $x > 3$ のとき

$|3-x|=-(3-x)=-3+x$ 
マイナスをつけてはずす

 まとめると

\begin{align} &|3-x|=\left\{ \begin{array}{ll} 3-x  (x≦3 のとき) \\ -3+x (x>3 のとき) \end{array} \right.\\\\ \end{align}

 

場合分けによる絶対値記号のはずし方【2つ】

絶対値が2つになったら,問題が少し複雑になるよ!

問題
次の式について,$x$ の値によって場合分けして絶対値の記号をはずせ。
$$|x+1|+|x-2|$$

 

解答

 $|x+1|$ と $|x-2|$ の絶対値をはずすと以下のようになる

\begin{align} &|x+1|=\left\{ \begin{array}{ll} x+1  (x≧-1 のとき) \\ -x-1 (x<-1 のとき) \end{array} \right.\\\\ \end{align} \begin{align} &|x-2|=\left\{ \begin{array}{ll} x-2  (x≧2 のとき) \\ -x+2 (x<2 のとき) \end{array} \right.\\\\ \end{align}

 $|x+1|$ は $-1$ を境に場合分け
 $|x-2|$ は $2$ を境に場合分け

 これらの場合分けを1つの数直線にまとめると

\begin{array}{c|c|c|c} & x < -1 & -1 ≦ x < 2 & 2 ≦ x \\ \hline \\ |x+1| & -x-1 & x+1 & x+1 \\\\ |x-2| & -x+2 & -x+2 & x-2 \\\\ \end{array}

 このように $-1$ と $2$ を境に,3つのパターンで場合分けすることができます

 $x < -1$ のとき
 $|x+1|=-x-1$,$|x-2|=-x+2$ なので

\begin{eqnarray} && |x+1|+|x-2| \\ & = & (-x-1)+(-x+2) \\ & = & -2x+1 \end{eqnarray}

 $-1 ≦ x < 2$ のとき
 $|x+1|=x+1$,$|x-2|=-x+2$ なので

\begin{eqnarray} && |x+1|+|x-2| \\ & = & (x+1)+(-x+2) \\ & = & 3 \end{eqnarray}

 $2 ≦ x$ のとき
 $|x+1|=x+1$,$|x-2|=x-2$ なので

\begin{eqnarray} && |x+1|+|x-2| \\ & = & (x+1)+(x-2) \\ & = & 2x-1 \end{eqnarray}

 まとめると

\begin{align} &|x+1|+|x-2|=\left\{ \begin{array}{lll} -2x+1  (x<-1 のとき) \\ 3   (-1 ≦ x < 2 のとき) \\ 2x-1  (2≦x のとき) \end{array} \right. \end{align}

 

絶対値が複数個ある場合は,

それぞれの絶対値を場合分けして

1つの数直線にまとめるのがポイントだね!

絶対値のはずし方まとめ

絶対値のはずし方
絶対値記号は,記号内の式の正負で場合分けしてはずす \begin{align} |A|=\left\{ \begin{array}{ll} A  (A≧0 のとき) \\ -A (A<0 のとき) \end{array} \right. \end{align} \begin{align} 絶対値記号内が\left\{ \begin{array}{ll} 0 以上ならそのままはずす \\ 負ならマイナスをつけてはずす \end{array} \right. \end{align}

 

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