定積分と面積①

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数学Ⅱ

定積分で面積を求める方法を学ぼう!

定積分

定積分

 $F'(x)=f(x)$ のとき

  $\displaystyle{\int_a^b f(x) dx=\left[F(x)\right]_a^b=F(b)-F(a)}$

 定積分の $\displaystyle{\int_a^b f(x) dx}$ において

 $a$ を 下端(かたん),$b$ を 上端(じょうたん) という

 定積分の $\displaystyle{\int_a^b f(x) dx}$  を求めることを

 関数 $f(x)$ を $a$ から $b$ まで 積分する という

定積分の計算についてはこれ↓

定積分
計算ミスが多い定積分の計算!簡単に解けるように工夫しよう!

定積分と面積

定積分を用いれば,曲線で囲まれる面積を求めることができる!

定積分と面積

 $a≦x≦b$ において,$f(x)≧0$ のとき(関数 $y=f(x)$ が $x$ 軸より上側のとき)

 関数 $y=f(x)$,2直線 $x=a$,$x=b$,$x$ 軸で囲まれる部分の面積 $S$ は

  $\displaystyle{S=\int_a^b f(x) dx}$

関数 $y=f(x)$ が $x$ 軸より上側にあるときは

$\displaystyle{S=\int_a^b f(x) dx}$

問題1

 関数 $f(x)=x^2+2$ と直線 $x=1$,$x=2$ と $x$ 軸で囲まれる部分の面積 $S$

\begin{align} S&=\int_1^2 (x^2+2) dx \\\\ &= \left[ \frac{1}{3}x^3+2x \right]_1^2 \\\\ &= \frac{1}{3}(2^3-1^3)+2(2-1) \\\\ &= \frac{7}{3}+2 \\\\ &= \frac{13}{3} \\\\ \end{align}

問題2

 関数 $y=-x^2+4$ と $x$ 軸で囲まれる部分の面積 $S$

 関数 $y=-x^2+4$ と $x$ 軸との共有点は

 $y=0$ を代入して

$-x^2+4=0$

$x^2-4=0$

$(x-2)(x+2)=0$

$x=±2$

 求める面積 $S$ は

\begin{align} S&=\int_{-2}^2 (-x^2+4) dx \\\\ &= \left[ -\frac{1}{3}x^3+4x \right]_{-2}^2 \\\\ &= -\frac{1}{3}\left\{2^3-(-2)^3\right\}+4\left\{2-(-2)\right\} \\\\ &= -\frac{16}{3}+16 \\\\ &= \frac{32}{3} \\\\ \end{align}

$x$ 軸より下側の面積

定積分と面積

 $a≦x≦b$ において,$f(x)≦0$ のとき(関数 $y=f(x)$ が $x$ 軸より下側のとき)

 関数 $y=f(x)$,2直線 $x=a$,$x=b$,$x$ 軸で囲まれる部分の面積 $S$ は

  $\displaystyle{S=\int_a^b \left\{-f(x)\right\} dx}$

$x$ 軸より下側にある $y=f(x)$ と2直線 $x=a$,$x=b$,$x$ 軸で囲まれる部分の面積

$y=f(x)$ のグラフを $x$ 軸に関して対称移動した $y=-f(x)$ と2直線 $x=a$,$x=b$,$x$ 軸で囲まれる部分の面積と等しいので

$S$$\displaystyle{=\int_a^b \left\{-f(x)\right\} dx}$

と表すことができる

関数 $y=f(x)$ が $x$ 軸より下側にあるときは

$\displaystyle{S=\int_a^b \left\{-f(x)\right\} dx}$

 

$x$ 軸より下側なら,マイナスをつけて定積分!

問題3

 関数 $y=x^2-4$ と $x$ 軸で囲まれる部分の面積 $S$

 関数 $y=x^2-4$ と $x$ 軸との共有点は

 $y=0$ を代入して

$x^2-4=0$

$(x-2)(x+2)=0$

$x=±2$

 求める面積 $S$ は

\begin{align} S&=\int_{-2}^2 \left\{-(x^2-4)\right\} dx \\\\ &=\int_{-2}^2 (-x^2+4) dx \\\\ &= \left[ -\frac{1}{3}x^3+4x \right]_{-2}^2 \\\\ &= -\frac{1}{3}\left\{2^3-(-2)^3\right\}+4\left\{2-(-2)\right\} \\\\ &= -\frac{16}{3}+16 \\\\ &= \frac{32}{3} \\\\ \end{align}

定積分の計算ができれば,思ったより簡単に面積を求めることができるね!

まとめ

● 定積分と面積

関数 $y=f(x)$ が $x$ 軸より上側にあるときは

$\displaystyle{S=\int_a^b f(x) dx}$

 

関数 $y=f(x)$ が $x$ 軸より上側にあるときは

$\displaystyle{S=\int_a^b \left\{-f(x)\right\} dx}$

 

気を付けるのは, $x$ 軸より上側か下側かだけ!

下側なら,マイナスをつけて定積分!

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