定積分と面積②

定積分

　定積分の　$\displaystyle{\int_a^b f(x) dx}$　において

　$a$ を　下端（かたん），$b$　を　上端（じょうたん）　という

　定積分の　$\displaystyle{\int_a^b f(x) dx}$　 を求めることを

　関数 $f(x)$ を $a$ から $b$ まで　積分する　という

定積分の計算についてはこれ↓

2https://enjoy-mathematics.com/%e5%ae%9a%e7%a9%8d%e5%88%86/

定積分と面積

関数 $y=f(x)$ が $x$ 軸より上側にあるときは

$\displaystyle{S=\int_a^b f(x) dx}$

２つの曲線の間の面積

$f(x)$ が $g(x)$ より上側にあるとき

$\displaystyle{S=\int_a^b \left\{f(x)-g(x)\right\} dx}$

問題１

　

\begin{align} S&=\int_1^2 \left\{(x^2+1)-\frac{1}{2}x^2\right\} dx \\\\ &= \int_1^2 \left(\frac{1}{2}x^2+1\right) dx \\\\ &= \left[ \frac{1}{6}x^3+x \right]_1^2 \\\\ &= \frac{1}{6}(2^3-1^3)+(2-1) \\\\ &= \frac{7}{6}+1 \\\\ &= \frac{13}{6} \\\\ \end{align}

問題２

　放物線 $y=x^2$ と直線 $y=-x+2$ の共有点の $x$ 座標は

$x^2=-x+2$

$x^2+x-2=0$

$(x-1)(x+2)=0$

$x=1，-2$

\begin{align} S&=\int_{-2}^1 \left\{(-x+2)-x^2\right\} dx \\\\ &= \int_{-2}^1 \left(-x^2-x+2\right) dx \\\\ &= \left[ -\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2+2x \right]_{-2}^1 \\\\ &= -\frac{1}{3}\left\{1^3-(-2)^3\right\}-\frac{1}{2}\left\{1^2-(-2)^2\right\}+2\left\{1-(-2)\right\} \\\\ &= -3+\frac{3}{2}+6 \\\\ &= \frac{9}{2} \\\\ \end{align}

問題３

　放物線 $y=x^2$ と放物線 $y=-x^2+2x+4$ の共有点の $x$ 座標は

$x^2=-x^2+2x+4$

$2x^2-2x-4=0$

$x^2-x-2=0$

$(x-2)(x+1)=0$

$x=-1，2$

\begin{align} S&=\int_{-1}^2 \left\{(-x^2+2x+4)-x^2\right\} dx \\\\ &= \int_{-1}^2 \left(-2x^2+2x+4\right) dx \\\\ &= \left[ -\frac{2}{3}x^3+x^2+4x \right]_{-1}^2 \\\\ &= -\frac{2}{3}\left\{2^3-(-1)^3\right\}+\left\{2^2-(-1)^2\right\}+4\left\{2-(-1)\right\} \\\\ &= -6+3+12 \\\\ &= 9 \\\\ \end{align}

まとめ

● ２曲線の間の面積

$f(x)$ が $g(x)$ より上側にあるとき

$\displaystyle{S=\int_a^b \left\{f(x)-g(x)\right\} dx}$