定積分と面積③

３次関数と $x$ 軸で囲まれる部分の面積の求め方を学ぼう！

３次関数のグラフ
定積分と面積
３次関数と面積
まとめ

３次関数のグラフ

まずは，３次関数のグラフの形について学ぼう！

増減表をかくとグラフの形がわかる！

極値がある場合の３次関数 $y=ax^3+bx^2+cx+d$ のグラフは

$a>0$ のとき

$a<0$ のとき

具体例をみてみよう！

　関数 $f(x)=x^3-3x^2+3$ の極値を求めよ。

　導関数 $f'(x)$ を求めると

$f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$

　$f'(x)=0$ を求めると

$3x(x-2)=0$

$x=0，2$

　$f'(x)$ のグラフをかくと

　増減表をかくと

　したがって

$x=0$ で極大値 $3$

$x=2$ で極小値 $-1$

　グラフは

　関数 $f(x)=-x^3+3x^2-2$ の極値を求めよ。

　導関数 $f'(x)$ を求めると

$f'(x)=-3x^2+6x=-3x(x-2)$

　$f'(x)=0$ を求めると

$-3x(x-2)=0$

$x=0，2$

　$f'(x)$ のグラフをかくと

　増減表をかくと

　したがって

$x=2$ で極大値 $2$

$x=0$ で極小値 $-2$

　グラフは

$x^3$ の係数の符号でグラフの形は決まる！

３次関数の増減表とグラフはこれ↓

関数の増減と導関数

f'(x)が正ならf(x)は増加，f'(x)が負ならf(x)は減少！増減表をつくって，３次関数のグラフをかこう！

定積分と面積

関数 $y=f(x)$ が $x$ 軸より上側にあるときは

$\displaystyle{S=\int_a^b f(x) dx}$

関数 $y=f(x)$ が $x$ 軸より下側にあるときは

$\displaystyle{S=\int_a^b \left\{-f(x)\right\} dx}$

定積分で面積を求めるときに気を付けることは，$x$ 軸より上か下か！

定積分と面積について詳しくはこれ↓

定積分と面積①

曲線で囲まれる面積は定積分で求めることができる！

３次関数と面積

３次関数と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を求めよう！

問題１

３次関数 $y=x^3-3x^2+2x$ と $x$ 軸で囲まれる部分の面積 $S$

３次関数 $y=x^3-3x^2+2x$ と $x$ 軸の共有点は $y=0$ を代入して

$x^3-3x^2+2x=0$

$x(x^2-3x+2)=0$

$x(x-1)(x-2)=0$

$x=0，1，2$

$x^3$ の係数は正なので，グラフの形は

$x$ 軸と $x=0，1，2$ で交わるので

$0≦x≦1$ で　$y≧0$（グラフは $x$ 軸より上側）

$1≦x≦2$ で　$y≦0$（グラフは $x$ 軸より下側）

求める面積 $S$ は

\begin{align} S&=\int_0^1 (x^3-3x^2+2x) dx +\int_1^2 \left\{-(x^3-3x^2+2x)\right\} dx \\\\ \end{align}

$x$ 軸より上側と下側の部分を分けて定積分して足す

計算すると

\begin{align} S&=\int_0^1 (x^3-3x^2+2x) dx +\int_1^2 \left\{-(x^3-3x^2+2x)\right\} dx \\\\ &= \left[ \frac{1}{4}x^4-x^3+x^2 \right]_0^1 + \left[ -\frac{1}{4}x^4+x^3-x^2 \right]_1^2 \\\\ &= \frac{1}{4}\cdot1^4-1^3+1^2-\frac{1}{4}(2^4-1^4)+(2^3-1^3)-(2^2-1^2) \\\\ &= \frac{1}{4}-\frac{15}{4}+7-3 \\\\ &= \frac{1}{2} \\\\ \end{align}

問題２

３次関数 $y=-x^3+x$ と $x$ 軸で囲まれる部分の面積 $S$

３次関数 $y=-x^3+x$ と $x$ 軸の共有点は $y=0$ を代入して

$-x^3+x=0$

$-x(x^2-1)=0$

$x(x-1)(x+1)=0$

$x=0，1，-1$

$x^3$ の係数は負なので，グラフの形は

$x$ 軸と $x=0，1，-1$ で交わるので

$-1≦x≦0$ で　$y≦0$（グラフは $x$ 軸より下側）

$0≦x≦1$ で　$y≧0$（グラフは $x$ 軸より上側）

求める面積 $S$ は

\begin{align} S&=\int_-1^0 \left\{-(-x^3+x)\right\} dx +\int_0^1 (-x^3+x) dx \\\\ &= \left[ \frac{1}{4}x^4-\frac{1}{2}x^2 \right]_{-1}^0 + \left[ -\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{2}x^2 \right]_0^1 \\\\ &= -\left\{\frac{1}{4}\cdot(-1)^4-\frac{1}{2}\cdot(-1)^2\right\}-\frac{1}{4}\cdot 1^4+\frac{1}{2}\cdot1^2 \\\\ &= -\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2} \\\\ &= 1 \\\\ \end{align}

問題３

３次関数 $y=x^3-2x^2-x+2$ と $x$ 軸で囲まれる部分の面積 $S$

３次関数 $y=-x^3+x$ と $x$ 軸の共有点は $y=0$ を代入して

$x^3-2x^2-x+2=0$

$P(x)=x^3-2x^2-x+2$ とすると，$P(1)=0$ より

$P(x)$ は $x-1$ を因数にもつので，組み立て除法を用いて

$(x-1)(x^2-x-2)=0$

$(x-1)(x+1)(x-2)=0$

$x=1，-1，2$

因数定理を用いた３次式の因数分解についてはこれ↓

因数定理

高校数学Ⅱで学ぶ『因数定理』についてわかりやすく解説！『因数定理』は３次以上の整式を因数分解するときに使う公式です！「因数を見つけるコツ」や「組み立て除法」も解説しています！

３次関数 $y=x^3-2x^2-x+2$ と $x$ 軸と $x=1，-1，2$ で交わるので

$-1≦x≦1$ で　$y≧0$（グラフは $x$ 軸より上側）

$1≦x≦2$ で　$y≦0$（グラフは $x$ 軸より下側）

求める面積 $S$ は

\begin{align} S&=\int_{-1}^1 (x^3-2x^2-x+2) dx +\int_1^2 \left\{-(x^3-2x^2-x+2)\right\} dx \\\\ &= \left[ \frac{1}{4}x^4-\frac{2}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2+2x \right]_{-1}^1 + \left[ -\frac{1}{4}x^4+\frac{2}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2-2x \right]_1^2 \\\\ &= \frac{1}{4}\left\{1^4-(-1)^4\right\}-\frac{2}{3}\left\{1^3-(-1)^3\right\}-\frac{1}{2}\left\{1^2-(-1)^2\right\}+2\left\{1-(-1)\right\}-\frac{1}{4}(2^4-1^4)+\frac{2}{3}(2^3-1^3)+\frac{1}{2}(2^2-1^2)-2(2-1) \\\\ &= -\frac{4}{3}+4-\frac{15}{4}+\frac{14}{3}+\frac{3}{2}-2 \\\\ &= \frac{37}{12} \\\\ \end{align}