対数の性質を理解して，対数の計算ができるようになろう！
対数の基本
対数には次の特徴がある
詳しくはこれ↓
対数の性質
対数の計算の基本となる「対数の性質」をまとめよう！
$M>0$，$N>0$ で，$k$ は実数とする
１ $\log_a MN=\log_a M+\log_a N$
２ $\displaystyle{\log_a \frac{M}{N}=\log_a M-\log_a N}$
３ $\log_a M^k=k\log_a M$
＜１ $\log_a MN=\log_a M+\log_a N$ の証明＞
$\log_a M=p$，$\log_a N=q$ とすると
$M=a^p$，$N=a^q$
よって
$MN=a^p\times a^q=a^{p+q}$ （指数法則）
したがって
$\log_a MN=\log_a a^{p+q}=p+q=\log_a M+\log_a N$
＜２ $\displaystyle{\log_a \frac{M}{N}=\log_a M-\log_a N}$ の証明＞
$\log_a M=p$，$\log_a N=q$ とすると
$M=a^p$，$N=a^q$
よって
$\displaystyle{\frac{M}{N}=\frac{a^p}{a^q}=a^{p-q}}$ （指数法則）
したがって
$\displaystyle{\log_a \frac{M}{N}=\log_a a^{p-q}=p-q=\log_a M-\log_a N}$
＜３ $\log_a M^k=k\log_a M$ の証明＞
$\log_a M=p$ とすると
$M=a^p$
よって
$M^k=\left(a^p\right)^k=a^{kp}$ （指数法則）
したがって
$\log_a M^k=\log_a a^{pk}=kp=k\log_a M$
指数法則を用いれば，証明できるね！
「対数の性質」も「指数法則」とよく似ているよ！
「掛け算」が「足し算」
「割り算」が「引き算」だね！
問題
次の式を計算せよ。
(1) $\log_6 2+\log_6 3$ (2) $\log_2 3-\log_2 24$
(3) $2\log_3 2+\log_3 15-\log_3 20$ (4) $\log_5 24-2\log_5 2-\log_5 6$
(1) $\log_6 2+\log_6 3$
$\log_6 2+\log_6 3$
$=\log_6 (2\times3)=\log_6 6=1$
(2) $\log_2 3-\log_2 24$
$\displaystyle{\log_2 3-\log_2 24}$
$\displaystyle{=\log_2 \frac{3}{24}=\log_2 \frac{1}{8}}$
$=\log_2 2^{-3}=-3$
(3) $2\log_3 2+\log_3 15-\log_3 20$
$\displaystyle{2\log_3 2+\log_3 15-\log_3 20}$
$=\log_3 2^2+\log_3 15-\log_3 20$
$\displaystyle{=\log_3 \frac{4\times15}{20}=\log_3 3=1}$
(4) $\log_5 24-2\log_5 2-\log_5 6$
$\displaystyle{\log_5 24-2\log_5 2-\log_5 6}$
$=\log_5 24-\log_5 2^2-\log_5 6$
$\displaystyle{=\log_5 \frac{24}{4\times6}=\log_5 1=\log_5 5^0=0}$
底の変換公式
対数 $\log_a M$ の $a$ を 底 ，$M$ を 真数 とよぶ
対数の底をかえたいときに用いる，「底の変換公式」を学ぼう！
$a$，$b$，$c$ は正の数で，$a≠1$，$c≠1$ とするとき
＜証明＞
$\log_a b=p$ とすると $b=a^p$
$c$ を底とする両辺の対数をとると
$\log_c b=\log_c a^p$
すなわち
$\log_c b=p\log_c a$ （対数の性質３）
$a≠1$ より $\log_c a≠0$ であるから
$\displaystyle{p=\frac{\log_c b}{\log_c a}}$
したがって
$\displaystyle{\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}}$
この式を用いることで，
底が $a$ の対数を底が $c$ の対数で表すことができる！
対数の底は自由にかえることができるんだね！
問題
次の式を簡単にせよ。
(1) $\log_4 8$ (2) $\log_9 3$ (3) $\log_2 3\cdot\log_3 8$
(1) $\log_4 8$
$\displaystyle{\log_4 8=\frac{\log_2 8}{\log_2 4}=\frac{\log_2 2^3}{\log_2 2^2}=\frac{3}{2}}$
(2) $\log_9 3$
$\displaystyle{\log_9 3=\frac{\log_3 3}{\log_3 9}=\frac{\log_3 3^1}{\log_3 3^2}=\frac{1}{2}}$
(3) $\log_2 3\cdot\log_3 8$
$\displaystyle{\log_2 3\cdot\log_3 8=\log_2 3\cdot\frac{\log_2 8}{\log_2 3}=\log_2 8=3}$
「底の変換公式」を使うタイミングを整理しよう！
まとめ
● 対数の性質
１ $\log_a MN=\log_a M+\log_a N$
２ $\displaystyle{\log_a \frac{M}{N}=\log_a M-\log_a N}$
３ $\log_a M^k=k\log_a M$
● 対数 $\log_a M$
$a$ を 底 ，$M$ を 真数 という
● 底の変換公式
$\displaystyle{\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}}$
「対数の性質」と「底の変換公式」を使いこなせるようにしよう！
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