対数 $\log$ を含む方程式を解こう！
対数の基本
まずは対数の基本を復習しよう！
$\log_a M$ の $a$ を 底 ，$M$ を 真数 という
$a^p=M \iff \log_a M=p$
$a^p > 0$ より $M > 0$
すなわち 真数は正である
真数が正であることを 真数条件 という
$p$ を $a$ を底とする対数にかきかえると，
$\log_a a^p$ となるね！
対数関数を含む方程式
対数の基本をおさえて，方程式を解いてみよう！
次の方程式を解け。
(1) $\log_2 x=3$ (2) $\log_3 (x-2)=-1$
(1) $\log_2 x=3$
$\log_2 x=3$
$\log_2 x=\log_2 2^3$
$x=2^3$
$x=8$
(2) $\log_3 (x-2)=-1$
$\log_3 (x-2)=-1$
$\log_3 (x-2)=\log_3 3^{-1}$
$x-2=3^{-1}$
$\displaystyle{x-2=\frac{1}{3}}$
$\displaystyle{x=\frac{7}{3}}$
右辺も $\log$ にして，真数同士を比較するところがポイントだね！
対数関数を含む方程式の応用
対数の性質を復習しよう！
$M>0$，$N>0$ で，$k$ は実数とする
$\log_a M+\log_a N=\log_a MN$
真数条件（真数は正）を考慮して，問題を解いてみよう！
次の方程式を解け。
(1) $\log_2 (x-2)+\log_2 (x+1)=2$ (2) $\log_3 (x^2-8x)=2$
(1) $\log_2 (x-2)+\log_2 (x+1)=2$
真数条件より $x-2 > 0$ かつ $x+1 > 0$
すなわち $x >2$ $\cdots\cdots$ ①
$\log_2 (x-2)+\log_2 (x+1)=2$
$\log_2 (x-2)(x+1)=\log_2 2^2$
$(x-2)(x+1)=2^2$
$x^2-x-2=4$
$x^2-x-6=0$
$(x+2)(x-3)=0$
$x=-2，3$
①より
$x=3$
(2) $\log_3 (x^2-8x)=2$
真数条件より
$x^2-8x > 0$
$x(x-8) >0$
$x<0，8<x$ $\cdots\cdots$ ①
$\log_3 (x^2-8x)=2$
$\log_3 (x^2-8x)=\log_3 3^2$
$x^2-8x=3^2$
$x^2-8x=9$
$x^2-8x-9=0$
$(x+1)(x-9)=0$
$x=-1，9$
これらは①を満たす
$x=-1，9$
求まった解が真数条件を満たしているかを確認することが大切だね！
まとめ
● 対数関数を含む方程式
両辺とも底が同じ対数で表して真数を比較する
● 対数関数を含む方程式の応用
真数条件（真数は正）を考える
$\log_a M+\log_a N=\log_a MN$ を用いて式変形
両辺とも底が同じ対数で表して真数を比較する
対数に慣れていることが大前提！
対数に慣れれば必ず解ける！
コメント