対称式

\begin{eqnarray} &&　x^2+y^2=(x+y)^2-2xy \\\\ &&　x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y) \\\\ &&　x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2(xy)^2 \\\\ &&　x^5+y^5=(x^2+y^2)(x^3+y^3)-(xy)^2(x+y) \\\\ \end{eqnarray}

$\displaystyle{x=\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}}$，$\displaystyle{y=\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}}$ のとき，次の式の値を求めよ。
(1)　$x+y$　　　　　(2)　$xy$　　　　　(3)　$x^2+y^2$
(4)　$x^3+y^3$　　　　　(5)　$x^5+y^5$　

　(1)　$\displaystyle{x=\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}=\sqrt{5}-\sqrt{3}}$

　　　$\displaystyle{y=\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=\frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})}=\sqrt{5}+\sqrt{3}}$　

　　　$\displaystyle{x+y=(\sqrt{5}-\sqrt{3})+(\sqrt{5}+\sqrt{3})=2\sqrt{5}}$

　(2)　$\displaystyle{xy=\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)=2}$

　(3)　$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=(2\sqrt{5})^2-2\cdot2=16$

　(4)　$x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)=(2\sqrt{5})^3-3\cdot2\cdot2\sqrt{5}=28\sqrt{5}$

　(5)　$x^5+y^5=(x^2+y^2)(x^3+y^3)-(xy)^2(x+y)$

　　　　　　　$=16\cdot28\sqrt{5}-2^2\cdot2\sqrt{5}=440\sqrt{5}$

　

$\displaystyle{x+\frac{1}{x}=3}$ のとき，次の式の値を求めよ。
(1)　$\displaystyle{x^2+\frac{1}{x^2}}$　　　　　(2)　$\displaystyle{x^3+\frac{1}{x^3}}$
(3)　$\displaystyle{x^4+\frac{1}{x^4}}$　　　　　(4)　$\displaystyle{x-\frac{1}{x}}$

　(1)　$\displaystyle{x^2+\frac{1}{x^2}=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2\cdot x\cdot\frac{1}{x}=3^2-2=7}$

　(2)　$\displaystyle{x^3+\frac{1}{x^3}=\left(x+\frac{1}{x}\right)^3-3\cdot x\cdot\frac{1}{x}\left(x+\frac{1}{x}\right)=3^3-3\cdot3=18}$

　(3)　$\displaystyle{x^4+\frac{1}{x^4}=\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)^2-2\cdot x^2\cdot\frac{1}{x^2}=7^2-2=47}$

　(4)　$\displaystyle{\left(x-\frac{1}{x}\right)^2=x^2-2\cdot x\cdot\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=7-2=5}$

　　　よって，　$\displaystyle{x-\frac{1}{x}=\pm\sqrt{5}}$

$$(x-y)^2=(x+y)^2-4xy$$

$$x^n+y^n=(x+y)(x^{n-1}+y^{n-1})-xy(x^{n-2}+y^{n-2})$$

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