導関数

導関数の定義式

微分係数の定義式の $a$ を $x$ に置き換えたものが　導関数

関数 $f(x)$ から導関数 $f'(x)$ を求めることを

$f(x)$ を　$x$ で微分する　または　微分する　という

問題

(1)　$f(x)=x^2$

　$\displaystyle{f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}= \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2-x^2}{h} }$

　　　$\displaystyle{=\lim_{h \to 0} \frac{2xh+h^2}{h}= \lim_{h \to 0} \frac{h(2x+h)}{h} }$

　　　$\displaystyle{=\lim_{h \to 0} (2x+h)=2x}$

(2)　$f(x)=x^3$

　$\displaystyle{f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}= \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^3-x^3}{h} }$

　　　$\displaystyle{=\lim_{h \to 0} \frac{3x^2h+3xh^2+h^3}{h}= \lim_{h \to 0} \frac{h(3x^2+3xh+h^2)}{h} }$

　　　$\displaystyle{=\lim_{h \to 0} (3x^2+3xh+h^2)=3x^2}$

導関数の公式

　

$f(x)=x^2$ のとき　　$f'(x)=2x$

$f(x)=x^3$ のとき　　$f'(x)=3x^2$

以上より，

$f(x)=x^n$ のとき　　$f'(x)=nx^{n-1}$（$n$ は自然数）

であることが予想される

　

　$\displaystyle{f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}= \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^n-x^n}{h} }$

　　　$\displaystyle{=\lim_{h \to 0} \frac{x^n+_n C_1 x^{n-1}h+_n C_2 x^{n-2}h^2+\cdots\cdots+h^n-x^n}{h}}$

　　　$\displaystyle{= \lim_{h \to 0} \frac{h(_n C_1 x^{n-1}+_n C_2 x^{n-2}h+\cdots\cdots)}{h} }$

　　　$\displaystyle{=\lim_{h \to 0} ( _n C_1 x^{n-1}+_n C_2 x^{n-2}h+\cdots\cdots )=nx^{n-1}}$

　

(1)　$f(x)=x^4$

$f'(x)=4x^3$

(2)　$f(x)=x^5$

$f'(x)=5x^4$

　

定数関数の導関数

　$\displaystyle{f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}}$

　　　$\displaystyle{= \lim_{h \to 0} \frac{3-3}{h} }$

　　　$\displaystyle{=0}$

　

関数の定数倍および和，積の導関数

１　$y=kf(x)$ を微分すると　　　　$y’=kf'(x)$

　例　$y=3x^2$ を微分すると（$x^2$ を微分して $3$ をかける）

$y’=3\cdot2x=6x$

２　$y=f(x)+g(x)$ を微分すると　　$y’=f'(x)+g'(x)$

　例　$y=x^2+x$ を微分すると（$x^2$ と $x$ をそれぞれ微分する）

$y’=2x+1$

３　$y=f(x)-g(x)$ を微分すると　　$y’=f'(x)-g'(x)$

　例　$y=x^2-x$ を微分すると（$x^2$ と $x$ をそれぞれ微分する）

$y’=2x-1$

　

問題

(1)　$y=x^2-4x+3$

　　 　　$y’=2x-4$

(2)　$\displaystyle{y=\frac{1}{3}x^3-\frac{3}{2}x^2+2x}$

　　　　$\displaystyle{y’=\frac{1}{3}\cdot3x^2-\frac{3}{2}\cdot2x+2}$

　　　　　$=x^2-3x+2$

まとめ

● 導関数の定義式

　関数 $f(x)$ の導関数　$f'(x)$ は

　　$f'(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}$

● 関数を微分する

　導関数 $f'(x)$ を求めることを，関数 $f(x)$ を微分する　という

● 関数 $x^n$ の導関数

　$f(x)=x^n$ のとき　　$f'(x)=nx^{n-1}$　（$n$ は自然数）

● 定数関数の導関数

　定数関数の導関数は常に $0$

● 関数の定数倍および和，積の導関数

　$k$ は定数とする

　１　$y=kf(x)$ を微分すると　　　　$y’=kf'(x)$

　２　$y=f(x)+g(x)$ を微分すると　　$y’=f'(x)+g'(x)$

　３　$y=f(x)-g(x)$ を微分すると　　$y’=f'(x)-g'(x)$