常用対数

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数学Ⅱ

桁数を調べることができる「常用対数」を学ぼう!

対数の基本

$\log_a M$ の $a$ を  ,$M$ を 真数 という

対数 $\log$ の特徴
$p=\log_a a^p$

常用対数

常用対数とは

常用対数とは
底を $10$ とする対数

$\log_{10} N$ のことを常用対数というよ!

常用対数の応用

$2^{20}$ は何桁の数か分かる?

さすがに,$2$ を $20$ 回もかける計算は時間がかかるね…

簡単に計算する方法はあるのかな?

「常用対数」を用いると,簡単に求めることができるよ!

常用対数で桁数を調べる

自然数 $N$ が $3$ 桁の数のとき,$N$ の常用対数の値

自然数 $N$ が $3$ 桁の数のとき

$100≦N<1000$

($100$ 以上 $1000$ 未満が $3$ 桁の自然数)

すなわち

$10^2≦N<10^3$

常用対数をとると

$\log_{10} 10^2≦\log_{10} N<\log_{10} 10^3$

したがって

$2≦\log_{10} N<3$

自然数 $N$ が $3$ 桁の数のとき,$N$ の常用対数の値は

$2≦\log_{10} N<3$

となる

同様に,

自然数 $N$ が $4$ 桁の数のとき,$N$ の常用対数の値は

$3≦\log_{10} N<4$

自然数 $N$ が $5$ 桁の数のとき,$N$ の常用対数の値は

$4≦\log_{10} N<5$

となる

これを一般化してみよう!

自然数 $N$ が $k$ 桁の数のとき,$N$ の常用対数の値

自然数 $N$ が $k$ 桁の数のとき

$10^{k-1}≦N<10^k$

常用対数をとると

$\log_{10} 10^{k-1}≦\log_{10} N<\log_{10} 10^k$

したがって

$k-1≦\log_{10} N<k$

常用対数と桁数の関係

自然数 $N$ が $k$ 桁の数のとき,$N$ の常用対数の値

$k-1≦\log_{10} N < k$

桁数を調べたいときは,常用対数の値を調べればいいよ!

問題

問題

$2^{20}$ は何桁の数か。ただし,$\log_{10} 2=0.3010$ とする。

 

解答

$2^{20}$ について常用対数をとると

$\log_{10} 2^{20}=20\log_{10} 2=20\times0.3010=6.020$

$6<\log_{10} 2^{20}<7$ であるから

$2^{20}$ は $7$ 桁の数である

常用対数で小数を調べる

「常用対数」を用いると,ある小数が小数第何位に初めて $0$ でない数が現れるか(小数点以下に $0$ が何個つくか)も調べることができるよ!

$0 < M<1$ である小数 $M$ の小数第 $3$ 位に初めて $0$ でない数字が現れるとき,$M$ の常用対数の値

小数第 $3$ 位に初めて $0$ でない数字が現れるとき

$0.001≦M<0.01$

すなわち

$10^{-3}≦M<10^{-2}$

常用対数をとると

$\log_{10} 10^{-3}≦\log_{10} M<\log_{10} 10^{-2}$

したがって

$-3≦\log_{10} M<-2$

となる

同様に,

小数第 $4$ 位に初めて $0$ でない数字が現れるとき

$-4≦\log_{10} M<-3$

小数第 $5$ 位に初めて $0$ でない数字が現れるとき

$-5≦\log_{10} M<-4$

 

これを一般化してみよう!

$0 < M<1$ である小数 $M$ の小数第 $k$ 位に初めて $0$ でない数字が現れるとき,$M$ の常用対数の値

小数第 $k$ 位に初めて $0$ でない数字が現れるとき

$10^{-k}≦M<10^{-(k-1)}$

常用対数をとると

$\log_{10} 10^{-k}≦\log_{10} M<\log_{10} 10^{-(k-1)}$

したがって

$-k≦\log_{10} M<-(k-1)$

常用対数と小数の関係

$0 < M<1$ である小数 $M$ が小数第 $k$ 位に初めて $0$ でない数字が現れるとき,$M$ の常用対数の値は

$-k≦\log_{10} M<-(k-1)$

問題

問題

$\displaystyle{\left(\frac{1}{3}\right)^{10}}$ を小数で表したとき,小数第何位に初めて $0$ でない数字が現れるか。ただし,$\log_{10} 3=0.4771$ とする。

 

解答

$\displaystyle{\left(\frac{1}{3}\right)^{10}}$ について常用対数をとると

$\displaystyle{\log_{10} \left(\frac{1}{3}\right)^{10}=10\log_{10} \frac{1}{3}=10(\log_{10} 1-\log_{10} 3)=-10\log_{10} 3=-4.771}$

 

$\displaystyle{-5<\log_{10} \left(\frac{1}{3}\right)^{10}<-4}$ であるから

 

$\displaystyle{\left(\frac{1}{3}\right)^{10}}$ を小数で表したとき,小数第 $5$ 位に初めて $0$ でない数字が現れる

小数についても,「常用対数」は使えるね!

まとめ

● 常用対数とは

 底が $10$ の対数

● 常用対数で桁数を調べる

 自然数 $N$ が $k$ 桁の数のとき,$N$ の常用対数の値は

   $k-1≦\log_{10} N <k$

● 常用対数で小数を調べる

 $0<M<1$ である小数 $M$ が小数第 $k$ 位に初めて $0$ でない数字が現れるとき,$M$ の常用対数の値は

  $-k≦\log_{10} M<-(k-1)$

「常用対数」は使う場面が限られるが,使えるようにしておこう!

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