平方完成｜x²の係数が1以外の場合

２次関数でよく出題される計算といったら『平方完成』

『平方完成』は２次関数の『軸』と『頂点』を求める大切な計算！

２次関数の大問の最初にする計算なので，間違えないことが必要不可欠！

「『平方完成』が全然わからない！！！」

「『平方完成』を基本の基本から教えて！！！」

という人のための『平方完成』の基本がわかる記事です！

特に，x² の係数が１以外のときの平方完成は計算ミスが多い！

これを見れば，『平方完成』の基本はばっちり！

　

なぜ平方完成をするのか

２次関数 $y=ax^2+bx+c$ は放物線

放物線には，『下に凸』と『上に凸』という形がある

放物線の位置を決めるものとして，『軸』と『頂点』がある

$y=ax^2+bx+c$ の形のままでは『軸』と『頂点』が分からない

$y=a(x-p)^2+q$ という形に式変形することで，『軸』と『頂点』が分かる

すなわち，平方完成することで『軸』と『頂点』が分かる

　

$y=a(x-p)^2+q$

　　軸　　直線 $x=p$
頂点　$(p，q)$

　

平方完成の準備

因数分解の公式　$x^2-2ax+a^2=(x-a)^2$ を式変形した

$x^2-2ax=(x-a)^2-a^2$

を用いると平方完成ができます。

　　　　$x^2-$$2a$$x$
　　　 　　　↓半分
　　　$=(x-$$a$$)^2-$$a^2$
　　　　　　 ｜___↑２乗を引く

平方完成

(1)
　　　$y=2x^2-4x-2$

　　　$　=2(x^2-$$2$$x)-2$　　　　　← $x^2$ の係数でくくる
　　　　　　　 　↓半分
　　　$　=2\{(x-$$1$$)^2-$$1^2$$\}-2$　　 ← かっこの中で $(　)^2$ を作る
　　　　　　　 　 ｜__↑２乗を引く
　　　$　=2(x-1)^2-2-2$　　　← $\{　\}$ を展開する

　　　$　=2(x-1)^2-4$

　

(2)
　　　$y=-x^2+2x-2$

　　　$　=-(x^2-$$2$$x)-2$
　　　　　　　 　 ↓半分
　　　$　=-\{(x-$$1$$)^2-$$1^2$$\}-2$
　　　　　　　 　 ｜__↑２乗を引く
　　　$　=-(x-1)^2+1-2$

　　　$　=-(x-1)^2-1$

　

まとめ

●平方完成の準備

　　　　$x^2-$$2a$$x$
　　　 　　　↓半分
　　　$=(x-$$a$$)^2-$$a^2$
　　　　　　 ｜___↑２乗を引く

●平方完成の手順

1. $x^2$ の係数でくくる
2. かっこの中で $(　)^2$ を作る
3. $\{　\}$ を展開する

問題

解答

(1)
　　　$y=2x^2+4x+1$

　　　$　=2(x^2+$$2$$x)+1$　　　　　← $x^2$ の係数でくくる
　　　　　　　 　↓半分
　　　$　=2\{(x+$$1$$)^2-$$1^2$$\}+1$　　 ← かっこの中で $(　)^2$ を作る
　　　　　　　 　 ｜__↑２乗を引く
　　　$　=2(x+1)^2-2+1$　　　← $\{　\}$ を展開する

　　　$　=2(x+1)^2-1$

　

(2)
　　　$y=-x^2-x-1$

　　　$　=-(x^2+$$　$$x)-1$
　　　　　　　 　 ↓半分
　　　$　=-\{(x+$$\frac{1}{2}$$)^2-$$(\frac{1}{2})^2$$\}-1$
　　　　　　　 　 ｜____↑２乗を引く
　　　$　=-(x+\frac{1}{2})^2+\frac{1}{4}-1$

　　　$　=-(x+\frac{1}{2})^2-\frac{3}{4}$

(3)
　　　$y=ax^2+bx+c$

　　　$　=a(x^2+$$\frac{b}{a}$$x)+c$
　　　　　　　 　 ↓半分
　　　$　=a\{(x+$$\frac{b}{2a}$$)^2-$$(\frac{b}{2a})^2$$\}+c$
　　　　　　　 　 ｜____↑２乗を引く
　　　$　=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a}+c$

　　　$　=a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{-b^2+4ac}{4a}$

　

　

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