高校数学Ⅱの【三角関数】で学ぶ『弧度法』について解説！
角度は，度（°）を単位とする『度数法』が基本でしたが，
三角関数の単元から『弧度法』という角度の表し方を学びます！
この投稿を見れば，『弧度法』の理解はバッチリ！
角度の表し方
角度の表し方は２種類あるよ！
度数法 … 度（°）を単位とした角度の表し方
弧度法 … 弧の長さを用いた角度の表し方
今までは「度数法」で角度を表していたね！
度数法
なじみのある度数法について詳しくみてみよう！
１周を $360^\circ$ にした理由は
・１年が $365$ 日だから
（当時は１年が $360$ 日くらいだった）
・約数が多いから
$1，2，3，4，5，6，8，9，10，\cdots$
といった理由が挙げられる
昔の人が１周を $360^\circ$ と決めただけで，数字的に深い意味は特にないのが度数法！
弧度法
弧の長さに着目した角度の表し方が「弧度法」！
単位は『ラジアン』！
弧度法の定義と単位
半径を $1$ のときの弧の長さが $1$ である中心角
半径を $2$ のときの弧の長さが $2$ である中心角
半径を $3$ のときの弧の長さが $3$ である中心角
円は必ず相似になるので，すべて等しい角度になる
これを $1$ ラジアン（[rad]と書くこともある）とする
これが弧度法における $1$ の定義
円の半径を１で考える
半径が変わると考えにくいので，半径を $1$ に固定して考えてみよう！
半径を $1$ にすることで
（弧の長さ）＝（角度）で表せる
弧の長さが $1$ なら $1$ ラジアン
弧の長さが $2$ なら $2$ ラジアン
弧の長さが $3$ なら $3$ ラジアン
弧度法における１周
弧度法における１周は何ラジアンか考えてみよう！
半径を $1$ にしたときの１周
すなわち 円周の長さが弧度法における１周
半径 $1$ の円周は $2\pi$ より
弧度法における１周は $2\pi$ ラジアン
半周を基準で考える
１周が $2\pi$ ラジアンなので
半周はその半分の $\pi$ ラジアン
度数法の $180^\circ$ が
弧度法の $\pi$ ラジアン
90°
$180^\circ$ を $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ 倍にしたのが $90^\circ$
$\pi$ $[rad]$ を $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ 倍にすると $\displaystyle{\frac{\pi}{2}}$
半分のパイを２等分したのが $\displaystyle{\frac{\pi}{2}}$ と考えると簡単！
60°
$180^\circ$ を $\displaystyle{\frac{1}{3}}$ 倍にしたのが $60^\circ$
$\pi$ $[rad]$ を $\displaystyle{\frac{1}{3}}$ 倍にすると $\displaystyle{\frac{\pi}{3}}$
半分のパイを３等分したのが $\displaystyle{\frac{\pi}{3}}$ と考えると簡単！
45°
$180^\circ$ を $\displaystyle{\frac{1}{4}}$ 倍にしたのが $45^\circ$
$\pi$ $[rad]$ を $\displaystyle{\frac{1}{4}}$ 倍にすると $\displaystyle{\frac{\pi}{4}}$
半分のパイを４等分したのが $\displaystyle{\frac{\pi}{4}}$ と考えると簡単！
30°
$180^\circ$ を $\displaystyle{\frac{1}{6}}$ 倍にしたのが $30^\circ$
$\pi$ $[rad]$ を $\displaystyle{\frac{1}{6}}$ 倍にすると $\displaystyle{\frac{\pi}{6}}$
半分のパイを６等分したのが $\displaystyle{\frac{\pi}{6}}$ と考えると簡単！
弧度法まとめ
$\displaystyle{\frac{\pi}{2}}$，$\displaystyle{\frac{\pi}{3}}$，$\displaystyle{\frac{\pi}{4}}$，$\displaystyle{\frac{\pi}{6}}$ が何個集まってできた角なのかを考えると簡単
例
$150^\circ$ は $30^\circ$ が５個
すなわち $\displaystyle{\frac{\pi}{6}}$ が５個なので $\displaystyle{\frac{5}{6}\pi}$
度数法と弧度法の表
| 度数法 | 弧度法 |
| $0^\circ$ | $0$ |
| $30^\circ$ | $\displaystyle{\frac{\pi}{6}}$ |
| $45^\circ$ | $\displaystyle{\frac{\pi}{4}}$ |
| $60^\circ$ | $\displaystyle{\frac{\pi}{3}}$ |
| $90^\circ$ | $\displaystyle{\frac{\pi}{2}}$ |
| $120^\circ$ | $\displaystyle{\frac{2}{3}\pi}$ |
| $135^\circ$ | $\displaystyle{\frac{3}{4}\pi}$ |
| $150^\circ$ | $\displaystyle{\frac{5}{6}\pi}$ |
| $180^\circ$ | $\pi$ |
| $210^\circ$ | $\displaystyle{\frac{7}{6}\pi}$ |
| $225^\circ$ | $\displaystyle{\frac{5}{4}\pi}$ |
| $240^\circ$ | $\displaystyle{\frac{4}{3}\pi}$ |
| $270^\circ$ | $\displaystyle{\frac{3}{2}\pi}$ |
| $300^\circ$ | $\displaystyle{\frac{5}{3}\pi}$ |
| $315^\circ$ | $\displaystyle{\frac{7}{4}\pi}$ |
| $330^\circ$ | $\displaystyle{\frac{11}{6}\pi}$ |
| $360^\circ$ | $2\pi$ |
扇形の弧の長さと面積
角を弧度法で表すことで，扇形の弧の長さと面積を簡単に求めることができます！
半径 $r$，中心角 $\theta$（弧度法）の扇形の弧の長さを $l$，面積を $S$ とすると
$l=r\theta$ ， $\displaystyle{S=\frac{1}{2}r^2\theta=\frac{1}{2}lr}$
【証明】
円において，扇形の弧の長さと面積はともに中心角の大きさに比例するので
$l:2\pi r=\theta:2\pi$ すなわち $\displaystyle{l=\frac{2\pi r\theta}{2\pi}=r\theta}$
$S:\pi r^2=\theta:2\pi$ すなわち $\displaystyle{S=\frac{\pi r^2 \theta}{2\pi}=\frac{1}{2}r^2\theta}$
さらに $\displaystyle{S=\frac{1}{2}r\theta\cdot r=\frac{1}{2}lr}$
$\displaystyle{l=4\cdot\frac{\pi}{3}=\frac{4}{3}\pi}$
$\displaystyle{S=\frac{1}{2}\cdot4^2\cdot\frac{\pi}{3}=\frac{8}{3}\pi}$
まとめ
● 度数法の定義
１周を $360^\circ$ としたときの $\displaystyle{\frac{1}{360}}$ が $1^\circ$
● 弧度法の定義
半径と等しい弧に対する中心角の大きさを $1$ ラジアン
● 弧度法における角
暗記するのではなく，半周が $\pi$ を基準に考えるようにしよう！
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