「必要条件・十分条件はややこしい！どっちがどっちか分からなくなってしまう…」
そのような悩みを持つ人がとても多いです！
逆に，きちんと理解して解けるようになれば，他の人と差をつけることができます！
この投稿では，誰でもわかる必要条件・十分条件の判別方法と覚え方を説明します！
最後まで読んで，必要条件・十分条件を完璧にマスターしましょう！
必要条件・十分条件とは
教科書にも書いてある「必要条件・十分条件」の説明はこれ！
● $p$ は $q$ であるための十分条件
● $q$ は $p$ であるための必要条件
これは教科書で見たけど，よくわからない…
これでは難しいので，わかりやすく解説するよ！
必要条件・十分条件の判定をするには，真偽の判定が重要になる！
まずは真偽の判定から学ぼう！
真偽の判定
「命題 $p\Longrightarrow q$ は真である」ことは
「 $p$ を満たすものはすべて $q$ を満たす 」こと
このことを集合で表してみる
条件 $p$ を満たす全体の集合を $P$
条件 $q$ を満たす全体の集合を $Q$
とすると
「命題 $p\Longrightarrow q$ は真である」ことは
「 $P$ の要素はすべて $Q$ の要素になる 」こと
すなわち $P⊂Q$（ $P$ は $Q$ に含まれる）
「$⊂$」の記号が分からないときはこれ↓
集合の大小関係で，真偽の判定ができるってことかな？
その通り！
具体例を見てみよう！
三毛猫 $\Longrightarrow$ 猫
猫 $\Longrightarrow$ 三毛猫
「三毛猫」と「猫」を集合で考えると
「三毛猫」という集合が「猫」という集合に含まれている
三毛猫 $\Longrightarrow$ 猫 は 真
猫 $\Longrightarrow$ 三毛猫 は 偽
反例は「ペルシャ猫」
詳しく学びたい人はこれ↓
必要条件・十分条件の判別方法
「○」は真，「×」は偽
「大」と「小」は集合の大小関係
(2) $x^2=1$ であることは，$x=1$ であるための（ ）条件
(1) $a$ が $4$ の倍数であることは，$a$ が $2$ の倍数であるための（ ）条件
「$4$ の倍数」の集合が「$2$ の倍数」の集合に含まれているので，
$a$ が $4$ の倍数 $\Longrightarrow$ $a$ が $2$ の倍数 は 真
$a$ が $4$ の倍数 $\Longleftarrow$ $a$ が $2$ の倍数 は 偽（反例：$a=2$）
$a$ が $4$ の倍数であることは，$a$ が $2$ の倍数であるための十分条件
(2) $x^2=1$ であることは，$x=1$ であるための（ ）条件
$x^2=1$ を解くと，$x=\pm1$
$x=\pm1$ $\Longrightarrow$ $x=1$ は 偽（反例：$x=-1$）
$x=\pm1$ $\Longleftarrow$ $x=1$ は 真
$x^2=1$ であることは，$x=1$ であるための必要条件
必要条件と十分条件の覚え方
必要条件と十分条件の矢印の方向を忘れちゃう…
何か覚え方はないのかな？
「主語から見て矢印をお金の流れと考える」
のが簡単な覚え方だよ！
お金の流れで考えると簡単に覚えられるね！
必要十分条件
必要十分条件とは、必要条件でも十分条件でもある条件のことです。
つまり，「$p \Longrightarrow q$」と「$q \Longrightarrow p$」がともに真であれば，$p$ と $q$ は互いに十分条件かつ必要条件となります。
$p$ と$q$ が必要十分条件であるとき，$p$ と $q$ は同値であるといいます。
$p$ と $q$ が同値であるとき， $p \Longleftrightarrow q$ と表します。
必要条件でも十分条件でもない
最後に，「必要条件でも十分条件でもない」場合について説明します。
集合で考えて，以下のように包含関係が成り立たないとき，「必要条件でも十分条件でもない」という選択肢になります。
問題演習
(1) $x=1$ は，$x$ が奇数であるための（ ）
(2) $x>0$ は，$x>1$ であるための（ ）
(3) $x^2+y^2=0$ は，$x=y=0$ であるための（ ）
(4) $a$ が素数であることは，$a$ が奇数であるための（ ）
(1) $x=1$ は，$x$ が奇数であるための（ ）
$x=1$ は，$x$ が奇数であるための十分条件
(2) $x>0$ は，$x>1$ であるための（ ）
$x>0$ は，$x>1$ であるための必要条件
(3) $x^2+y^2=0$ は，$x=y=0$ であるための（ ）
$x^2+y^2=0$ は，$x=y=0$ であるための必要十分条件
(4) $a$ が素数であることは，$a$ が奇数であるための（ ）
$a$ が素数であることは，$a$ が奇数であるための必要条件でも十分条件でもない
🔰基本…まずはこの記事から！
🔵標準…基本問題や公式の理解度が重要！
🔴応用…場合分けなど思考力が要求される！
コメント