指数の拡張

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数学Ⅱ

指数関数を学ぶ前の準備!

指数の拡張について学ぼう!

指数法則

指数を学ぶ上での基本!

指数法則をおさえよう!

指数とは

右肩につく数のことを「指数」と呼ぶよ!

指数法則

指数法則

 $a>0$,$b>0$ で,$r$,$s$ が実数とする

 1 $a^r\times a^s=a^{r+s}$     2 $\displaystyle{\frac{a^r}{a^s}=a^{r-s}}$

 3 $\left(a^r\right)^s=a^{rs}$      4 $(ab)^r=a^r b^r$

1と2は間違えやすいので,分からなくなったら具体例を用いて考えよう!

 

$2^2\times2^3$ と $(2^2)^3$ の違いを考えよう

$2^2\times2^3=(2\times2)\times(2\times2\times2)=2^5$

$2$ が $2$ 個と,$2$ が $3$ 個で合計 $5$ 個

$2+3=5$

 つまり  $2^2\times2^3=2^{2+3}=2^5$

 

$(2^2)^3=(2\times2)\times(2\times2)\times(2\times2)=2^6$

$2$ が $2$ 個が $3$ セットで合計 $6$ 個

$2\times3=6$

つまり  $(2^2)^3=2^{2\times3}=2^6$

「指数法則」は実数全体で成り立つことが知られているよ!

指数が整数

$2^{-1}$ や $2^{-2}$ が何になるか考えよう!

$2^□$ は指数が $+1$ されるごとに $\times2$ になる

これを拡張すると以下のようになる

同様に考えると  $\displaystyle{2^{-3}=\frac{1}{8}}$

              $\displaystyle{2^{-4}=\frac{1}{16}}$  である

$\displaystyle{2^{-3}=\frac{1}{2^3}}$

$\displaystyle{2^{-4}=\frac{1}{2^4}}$

であることから以下のことがいえる

整数の指数

 $a≠0$ で,$n$ は正の整数とする

  $\displaystyle{a^{-n}=\frac{1}{a^n}}$      $a^0=1$

$n$ 乗根

$n$ 乗根
$n$ 乗すると $a$ になる数を $a$ の $n$ 乗根という($n$ は正の整数)

<$n$ 乗根の例>

 $4$ の $2$ 乗根(平方根) …… $2$ 乗すると $4$ になる数  $±2$

 $8$ の $3$ 乗根 …… $3$ 乗すると $8$ になる数  $2$

 $16$ の $4$ 乗根 …… $4$ 乗すると $16$ になる数  $±2$

$n$ 乗根が整数ではない数になったらどうやって表すの?

平方根と同様に,$\sqrt{ }$ を使って表すよ!

$\sqrt[n]{a}$

正の数 $a$ の $n$ 乗根のうち,正であるものを $\sqrt[n]{a}$ で表す($n$ 乗根 $a$ と読む)

$n=2$ のときは $2$ を省略して $\sqrt{a}$ と表す

<$\sqrt[n]{a}$ の例>

 $2$ の $2$ 乗根(平方根) …… $2$ 乗したら $2$ になる数  $±\sqrt{2}$

 $2$ の $3$ 乗根 …… $3$ 乗したら $2$ になる数  $\sqrt[3]{2}$

 $2$ の $4$ 乗根 …… $4$ 乗したら $2$ になる数  $±\sqrt[4]{2}$

 

次の数を簡単にせよ。

(1) $\sqrt{16}$    (2) $\sqrt[3]{8}$    (3) $\sqrt[4]{81}$

(1) $\sqrt{16}$

  $2$ 乗したら $16$ になる正の数なので

$\sqrt{16}=4$

(2) $\sqrt[3]{8}$

  $3$ 乗したら $8$ になる正の数なので

$\sqrt[3]{8}=2$

(3) $\sqrt[4]{81}$

  $4$ 乗したら $81$ になる正の数なので

$\sqrt[4]{81}=3$

式でみると,このように考えられる!

$\sqrt{16}=\sqrt{4^2}=4$

$\sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{2^3}=2$

$\sqrt[4]{81}=\sqrt[4]{3^4}=3$

$\sqrt[n]{a}$ について,以下の性質がいえる

$\sqrt[n]{a}$ の性質
$(\sqrt[n]{a})^n=a$    $\sqrt[n]{a^n}=a$

 $\sqrt{2}$ は $2$ 乗したら $2$ になる数なので

$(\sqrt{2})^2=2$      $\sqrt{2^2}=\sqrt{4}=2$

 $\sqrt[3]{2}$ は $3$ 乗したら $2$ になる数なので

$(\sqrt[3]{2})^3=2$      $\sqrt[3]{2^3}=\sqrt[3]{8}=2$

 $\sqrt[4]{2}$ は $4$ 乗したら $2$ になる数なので

$(\sqrt[4]{2})^4=2$      $\sqrt[4]{2^4}=\sqrt[4]{16}=2$

 

$\sqrt[n]{ }$ の中に $○^n$ があれば,$\sqrt[n]{ }$ がとれる!

$(\sqrt[n]{a})^n=a$,$\sqrt[n]{a^n}=a$ より,

$(\sqrt[n]{a})^n=\sqrt[n]{a^n}$

が成り立つ

同様に考えると

$(\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}$

$\sqrt[n]{a}$ の性質
$(\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}$

指数が有理数

「有理数」とは分数で表される数のこと!

指数が「有理数」になるときについて考えよう!

$a^{\frac{1}{n}}$

$a^{\frac{1}{2}}$ はどんな数なのかな?

$2$ 乗してみたら,どんな数か分かるよ!

$2^{\frac{1}{2}}$ はどのような数か

 指数法則 $a^r\times a^s=a^{r\times s}$ を用いて,$2^{\frac{1}{2}}$ を $2$ 乗してみると

$(2^{\frac{1}{2}})^2=2^{\frac{1}{2}\times2}=2^1=2$

 $2^{\frac{1}{2}}$ は $2$ 乗したら $2$ になる正の数であることがわかる

 $2$ 乗して $2$ になる正の数は $\sqrt{2}$ であるので

$2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$

$\sqrt[3]{2}$ がどのような数になるか調べたいときはどうする?

$3$ 乗してみたらいいのかな?

 

$2^{\frac{1}{3}}$ はどのような数か

 指数法則 $a^r\times a^s=a^{r\times s}$ を用いて,$2^{\frac{1}{3}}$ を $3$ 乗してみると

$(2^{\frac{1}{3}})^3=2^{\frac{1}{3}\times3}=2^1=2$

 $2^{\frac{1}{3}}$ は $3$ 乗したら $2$ になる正の数であることがわかる

 $3$ 乗して $2$ になる正の数は $\sqrt[3]{2}$ であるので

$2^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{2}$

有理数の指数

 $a>0$ で,$n$ は正の整数とする

  $a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$

$a^{\frac{m}{n}}$

 

$2^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{2}$ を用いて,$2^{\frac{2}{3}}$ について考えてみよう!

$2^{\frac{2}{3}}$ はどのような数か

  指数法則 $a^r\times a^s=a^{r\times s}$,$2^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{2}$, $(\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}$ を用いて

$2^{\frac{2}{3}}=2^{\frac{1}{3}\times2}=(2^{\frac{1}{3}})^2=(\sqrt[3]{2})^2=\sqrt[3]{2^2}$

 よって

$2^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{2^2}$

以上より,次のことがいえるよ!

有理数の指数

 $a>0$ で,$m$,$n$ は正の整数とする

  $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$

問題

次の□に適する数を求めよ。

(1) $3^{\frac{1}{4}}=\sqrt[□]{□}$   (2) $2^{\frac{3}{4}}=\sqrt[□]{□^□}$   (3) $\displaystyle{4^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{\sqrt[□]{□^□}}}$

(4) $\sqrt[3]{5}=□^{\frac{□}{□}}$   (5) $\sqrt[5]{16}=\sqrt[5]{2^□}=2^{\frac{□}{□}}$

(1) $3^{\frac{1}{4}}=\sqrt[□]{□}$

   $3^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{3}$

(2) $2^{\frac{3}{4}}=\sqrt[□]{□^□}$

   $2^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{2^3}$

(3) $\displaystyle{4^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{\sqrt[□]{□^□}}}$

   $\displaystyle{4^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{4^2}}}$

(4) $\sqrt[3]{5}=□^{\frac{□}{□}}$

   $\sqrt[3]{5}=5^{\frac{1}{3}}$

(5) $\sqrt[5]{16}=\sqrt[□]{2^□}=2^{\frac{□}{□}}$

   $\sqrt[5]{16}=\sqrt[5]{2^4}=2^{\frac{4}{5}}$

 

指数の基本をきちんと理解しよう!

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