指数関数を含む不等式をマスターしよう！
指数関数を含む不等式
$a^x$ の $a$ を 底 という（読み方は「てい」）
指数関数を $a^x$ を含む不等式の解くときのポイントはこれ！
底をそろえるために，指数の基本をおさえよう！
$a>0$ で，$m$，$n$ は正の整数とする
$\displaystyle{a^{-n}=\frac{1}{a^n}}$ $a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$ $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$
底が $ より大きいとき
$2^x$ について，$x$ が大きくなるとどのように変化するかな？
大きくなりそう！
数字を代入してみよう！
| $x$ | $\cdots$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $\cdots$ |
| $2^x$ | $\cdots$ | $\displaystyle{\frac{1}{4}}$ | $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ | $1$ | $2$ | $4$ | $8$ | $16$ | $\cdots$ |
$\cdots<2^{-2}<2^{-1}<2^0<2^1<2^2<2^3\cdots$
$x$ が大きくなるにつれて，$2^x$ も大きくなる
これより
$p<q\iff 2^p<2^q$
（$\iff$ は同値の記号）
$3^x$ や $4^x$ といった，底が $1$ より大きいときに同様のことがいえる
底が $1$ より大きいときは，指数が大きいと大きくなるので，不等号の向きに変化はないね！
問題
次の不等式を解け。
(1) $2^x<8$ (2) $\displaystyle{8^x≧\frac{1}{4}}$ (3) $9^x≦27^{1-x}$
(1) $2^x<8$
$2^x<8$
$2^x<2^3$
底 $2$ は $1$ より大きいので
$x<3$
(2) $\displaystyle{8^x≧\frac{1}{4}}$
$\displaystyle{8^x≧\frac{1}{4}}$
$(2^3)^x≧2^{-2}$
$2^{3x}≧2^{-2}$
底 $2$ は $1$ より大きいので
$3x≧-2$
$\displaystyle{x≧-\frac{2}{3}}$
(3) $9^x≦27^{1-x}$
$\displaystyle{9^x≦27^{1-x}}$
$(3^2)^x≦(3^3)^{1-x}$
$3^{2x}≦3^{3-3x}$
底 $3$ は $1$ より大きいので
$2x≦3-3x$
$\displaystyle{x≦\frac{3}{5}}$
底が $1$ より大きいときは，不等号の向きが変わらないので簡単！
底が $ より小さいとき
$\displaystyle{\left(\frac{1}{2}\right)^x}$ について，$x$ が大きくなるとどのように変化するかな？
とりあえず，数字を代入してみよう！
| $x$ | $\cdots$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $\cdots$ |
| $\displaystyle{\left(\frac{1}{2}\right)^x}$ | $\cdots$ | $4$ | $2$ | $1$ | $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ | $\displaystyle{\frac{1}{4}}$ | $\displaystyle{\frac{1}{8}}$ | $\displaystyle{\frac{1}{16}}$ | $\cdots$ |
$\displaystyle{\cdots>\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}> \left( \frac{1}{2} \right) ^{-1}> \left( \frac{1}{2} \right) ^0> \left( \frac{1}{2} \right) ^1> \left( \frac{1}{2} \right) ^2> \left( \frac{1}{2} \right) ^3\cdots}$
$x$ が大きくなるにつれて， $\displaystyle{\left(\frac{1}{2}\right)^x}$ も小さくなる
これより
$\displaystyle{p<q\iff \left(\frac{1}{2}\right)^p> \left(\frac{1}{2}\right) ^q}$
（$\iff$ は同値の記号）
$\displaystyle{\left(\frac{1}{3}\right)^x}$ や $\displaystyle{\left(\frac{1}{4}\right)^x}$ といった，底が $1$ より小さいときに同様のことがいえる
底が $1$ より小さいときは，指数が大きいと小さくなるので，不等号の向きが変化する！
問題
次の方程式を解け。
(1) $\displaystyle{\left(\frac{1}{2}\right)^x>\frac{1}{8}}$ (2) $\displaystyle{\left(\frac{1}{9}\right)^x≦\left(\frac{1}{27}\right)^{1-x}}$
(1) $\displaystyle{\left(\frac{1}{2}\right)^x>\frac{1}{8}}$
$\displaystyle{\left(\frac{1}{2}\right)^x>\frac{1}{8}}$
$\displaystyle{\left(\frac{1}{2}\right)^x>\left(\frac{1}{2}\right)^3}$
底 $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ は $1$ より小さいので
$x<3$
(2) $\displaystyle{\left(\frac{1}{9}\right)^x≦\left(\frac{1}{27}\right)^{1-x}}$
$\displaystyle{\left(\frac{1}{9} \right)^x≦\left(\frac{1}{27}\right)^{1-x}}$
$\displaystyle{\left(\frac{1}{3} \right)^{2x}≦\left(\frac{1}{3}\right)^{3(1-x)}}$
底 $\displaystyle{\frac{1}{3}}$ は $1$ より小さいので
$2x≧3(1-x)$
$2x≧3-3x$
$5x≧3$
$\displaystyle{x≧\frac{3}{5}}$
底が $1$ より小さいときは，不等号の向きが変わるので要注意！
まとめ
● 指数関数を含む不等式のポイント
底をそろえて，指数を比較
● 指数を比較するときのポイント
底が $1$ より大きいときは，不等号の向きが変わらない
底が $1$ より小さいときは，不等号の向きが変わる
底が $1$ より大きいか小さいかを気を付ければ大丈夫！
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