接線の方程式(接点が与えられている)

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数学Ⅱ

微分を用いて接線の方程式を求めよう!

接線

接線の傾きは微分係数

微分係数と接線の傾き

関数 $y=f(x)$ の $x=a$ における微分係数 $f'(a)$ は

関数 $y=f(x)$ のグラフ上の点 $A(a,f(a))$ における接線の傾きと等しい

微分係数と接線の傾きの関係はこれ↓

微分係数と接線の傾き
微分の入門!微分係数の定義式の意味を理解しよう!

微分係数の求め方

微分係数の定義式を用いれば微分係数は求まるけど,計算に時間がかかる!

以下の手順で微分係数を求めよう!

微分係数 $f'(a)$ を求める手順
 導関数 $f'(x)$ を求めて $x=a$ を代入する

導関数の求め方はこれ↓

問題

 関数 $f(x)=x^2+2x-1$ について,$x=1$ における $f(x)$ の微分係数を求めよ。

 関数 $f(x)$ の導関数を求めると

$f'(x)=2x+2$

 $x=1$ における $f(x)$ の微分係数 $f'(1)$ は

$f'(1)=2\cdot1+2=4$

 

 

導関数を求めて代入すれば微分係数が求まるね!

接線の方程式(接点が与えられている)

接線は直線!

直線の方程式の求め方を復習しよう!

直線の方程式

直線の方程式

傾き $m$,点 $(x_1,y_1)$ を通る直線の方程式は

  $y-y_1=m(x-x_1)$

直線の方程式は「傾き」と「通る点」で求まる

だったね!

直線の方程式の復習はこれ↓

直線の方程式
高校数学Ⅱで学ぶ『直線の方程式』を解説! 直線は座標平面の図形において基本中の基本! 「傾き」と「通る点」で直線の方程式を求めることができる! この投稿を見れば、『直線の方程式』を確実にマスターできます!

接線の方程式

接線の方程式は

「傾き」が微分係数

「通る点」が接点

で考えるのが基本!

接線の方程式
 「傾き」が微分係数
 「通る点」が接点

問題

 関数 $f(x)=x^2+2x-1$ のグラフ上の点 $(1,2)$ における接線の方程式を求めよ。

 $f(x)$ の導関数は

$f'(x)=2x+2$

 $(1,2)$ における接線の傾きは,$x=1$ における微分係数 $f'(1)$ なので

$f'(1)=2\cdot1+2=4$

 求める接線は傾き $4$,点 $(1,2)$ を通る直線なので

$y-2=4(x-1)$

$y=4x-2$

 

接線も直線だから,「傾き」と「通る点」がキーワードだね!

まとめ

● 接線の傾きは微分係数

 関数 $y=f(x)$ の $x=a$ における微分係数 $f'(a)$ は

 関数 $y=f(x)$ のグラフ上の点 $A(a,f(a))$ における接線の傾きと等しい

● 直線の方程式

 傾き $m$,点 $(x_1,y_1)$ を通る直線の方程式は

   $y-y_1=m(x-x_1)$

● 接線の方程式

 「傾き」が微分係数,「通る点」が接点

 で直線の方程式を用いる

 

微分係数と接線の傾きの関係を理解して,直線の方程式を用いよう!

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