数列の和と一般項

数列の和と一般項

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とすると

$S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots\cdots+a_{n-1}+a_n$

ここで，数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $(n-1)$ 項までの和を $S_{n-1}$ ($n≧2$) は

$S_{n-1}=a_1+a_2+a_3+\cdots\cdots+a_{n-1}$

これらを引き算すると

\begin{eqnarray} 　S_n &=& a_1&+&a_2&+&a_3&+&\cdots\cdots&+&a_{n-1}&+&a_n& \\ -\large{)}　S_{n-1} &=& a_1&+&a_2&+&a_3&+&\cdots\cdots&+&a_{n-1}& \\ \hline S_n-S_{n-1} &=& 　&&&&&&&&&&a_n \\\\ \end{eqnarray}

したがって，$n≧2$ のとき

$a_n=S_n-S_{n-1}$

　

問題

　

　$n=1$ のとき

$a_1=S_1=2\cdot1^2-1=1$

　$n≧2$ のとき

\begin{eqnarray} a_n &=& S_n-S_{n-1} \\ &=& 2n^2-n-\{2(n-1)^2-(n-1)\} \\ &=& 2n^2-n-(2n^2-4n+2-n+1) \\ &=& 4n-3 \end{eqnarray}

　$n=1$ を代入すると，$a_1=1$ となり $n=1$ のときも成り立つ

　したがって　　　$a_n=4n-3$

　

　$n=1$ のとき

$a_1=S_1=1^2-1+1=1$

　$n≧2$ のとき

\begin{eqnarray} a_n &=& S_n-S_{n-1} \\ &=& n^2-n+1-\{(n-1)^2-(n-1)+1\} \\ &=& n^2-n+1-(n^2-2n+1-n+1+1) \\ &=& 2n-2 \end{eqnarray}

　$n=1$ を代入すると，$a_1=0$ となり，$a_1=1$ を満たさない

$n=1$ のとき　　$a_1=1$

$n≧2$ のとき　　$a_n=2n-2$

　

まとめ

● 数列の和と一般項

　数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とすると

　$n=1$ のとき　　　　$a_1=S_1$

　$n≧2$ のとき　　　　$a_n=S_n-S_{n-1}$