方べきの定理

方べきの定理

　

$□\cdot□$$　=　$$□\cdot□$

　

証明

[証明]

$\triangle PAC$ と $\triangle PDB$ を考える

円周角の定理より

　$\angle PAC=\angle PDB$

　$\angle PCA=\angle PBD$

２組の角がそれぞれ等しいので

　$\triangle PAC\backsim\triangle PDB$

したがって

　$PA：PC=PD：PB$

これより

　$PA・PB=PC・PD$

　

[証明]

$\triangle PAC$ と $\triangle PDB$ を考える

円に内接する四角形の性質より

　$\angle PAC=\angle PDB$

　$\angle PCA=\angle PBD$

２組の角がそれぞれ等しいので

　$\triangle PAC\backsim\triangle PDB$

したがって

　$PA：PC=PD：PB$

これより

　$PA・PB=PC・PD$

円に内接する四角形の性質はこれ↓

円に内接する四角形

円に内接する四角形は対角の和が180°！逆に、対角の和が180°なら四角形は円に内接する！

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2022.12.17

[証明]

下図のように円の中心 $O$，点 $C$，$D$ をとる

方べきの定理より

　$PA・PB=PC・PD$

円の半径を $r$ とすると

$PC=PO-r$，$PD=PO+r$

これより

　$PA・PB=PC・PD=(PO-r)(PO+r)$

よって

　$PA・PB=PO^2-r^2$

$\triangle OPT$ において三平方の定理より

　$PT^2=PO^2-r^2$

したがって

　$PA・PB=PT^2$

まとめ

● 方べきの定理

　$□・□$$　=　$$□・□$

問題

(1)

方べきの定理より

　$x・2=3・4$

　　　$x=6$

　

(2)

方べきの定理より

　$x(x+2)=3・8$

　$x^2+2x=24$

　$x^2+2x-24=0$

　$(x-4)(x+6)=0$

$x>0$ より　$x=4$

　

(3)

方べきの定理より

　$x^2=2・6$

　$x^2=12$

$x>0$ より　$x=2\sqrt{3}$