条件付き確率

条件付き確率とは

２つの事象 $A$，$B$ について

$A$ が起こったとして，そのときに $B$ が起こる確率を

$A$ が起こったときの $B$ が起こる条件付き確率　という

条件付き確率の考え方

$A$ が起こったときの $B$ が起こる条件付き確率は，

$A$ を全事象としたときに，$B$ が起こる確率　である

目の和が６になるのは
$(1，5)$，$(2，4)$，$(3，3)$，$(4，2)$，$(5，1)$　の $5$ 通り

これを全事象としたとき，出た目がともに奇数であるのは
$(1，5)$，$(3，3)$，$(5，1)$　の $3$ 通り

目の和が６である $5$ 通りのうち，
出た目がともに奇数であるのは $3$ 通りなので
求める条件付き確率は　$\displaystyle{\frac{3}{5}}$

条件付き確率の求め方

場合の数を用いる方法

求める条件付き確率は

$\displaystyle{\frac{「目の和が６」かつ「ともに奇数」の場合の数}{「目の和が６」の場合の数}=\frac{3}{5}}$

で求めることができた

確率を用いる方法

さいころを２個投げるとき　$6\times6=36$ (通り)

「目の和が６」の確率は　$\displaystyle{\frac{5}{36}}$

「目の和が６」かつ「ともに奇数」の確率は　$\displaystyle{\frac{3}{36}}$

$\cfrac{「目の和が６」かつ「ともに奇数」の確率}{「目の和が６」の確率}=\cfrac{\frac{3}{36}}{\frac{5}{36}}=\frac{3}{5}$

まとめ

● 条件付き確率とは　

　$A$ が起こったとして，そのときに $B$ が起こる確率を

　$A$ が起こったときの $B$ が起こる条件付き確率　という

● 「場合の数」を用いた条件付き確率の求め方

　$A$ であるとき，$B$ である条件付き確率は

　$\displaystyle{\frac{A \cap B である場合の数}{A である場合の数}}$

● 「確率」を用いた条件付き確率の求め方

　$A$ であるとき，$B$ である条件付き確率は

　$\displaystyle{\frac{A \cap B である確率}{A である確率}}$

問題

目の積が奇数であるのは
ともに奇数が出るときなので　$3\times3=9$ (通り)

ともに奇数が出るとき，同じ目がであるのは
$(1，1)$，$(3，3)$，$(5，5)$　の $3$ 通り

求める条件付き確率は　$\displaystyle{\frac{3}{9}=\frac{1}{3}}$