正弦定理の使い方を整理しよう！計算ミスが多い人必見！

数学Ⅰ「図形と計量」分野で登場機会が多い『正弦定理』

簡単に思われがちな定理ですが，使う場面を整理していないと痛い目をみます！

また，計算ミスが非常に多いことも特徴です！

この投稿を見れば，『正弦定理』の使い方が整理でき，計算ミスも確実に減らせます！

△ABCについて
正弦定理
正弦定理の使い方①
1. 三角形の外接円の半径を求める
2. 三角形の外接円の半径を用いて，辺や角（$\sin$ の値）を求める
正弦定理の使い方②
1. 辺の長さを求める
2. 角（$\sin$ の値）を求める
正弦定理の証明
まとめ

△ABCについて

$\triangle ABC$ の各頂点 $A$，$B$，$C$ の向かい合う辺の長さをそれぞれ $a$，$b$，$c$ とする

正弦定理

　$\triangle ABC$ の外接円の半径を $R$ とすると

$　\displaystyle\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

この式のまま使うことはないので注意しよう！

$\sin$ の値に自信がない人はこれ↓

三角比の拡張

鈍角の三角比の考え方きちんと理解していますか？鋭角の三角比は直角三角形で考えていましたが，鈍角の三角比は座標で考えるので少し難しく感じます！ですが，基本をきちんとおさえることで必ず理解できます！単位円を使った鈍角の三角比の考え方をわかりやすく解説します！

正弦定理の使い方①

$\displaystyle\frac{a}{\sin A}=2R$

三角形の外接円の半径を求める

三角形の外接円の半径を用いて，辺の長さや角の大きさ（$\sin$ の値）を求める

　簡単に表すと

$$\displaystyle\frac{●}{\sin■}=2R$$

１組の向かい合う辺と角と外接円の半径で式を作る

三角形の外接円の半径を求める

　１辺の長さが $2$ の正三角形の外接円の半径 $R$

正弦定理より \begin{eqnarray} \frac{2}{\sin60^\circ} &=& 2R \\\\ 2R\sin60^\circ &=& 2 \\\\ 2R\times\frac{\sqrt{3}}{2} &=& 2 \\\\ \sqrt{3}R &=& 2 \\\\ R &=& \frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3} \end{eqnarray}

三角形の外接円の半径を用いて，辺や角（$\sin$ の値）を求める

　外接円の半径が $\sqrt{3}$ である正三角形の１辺の長さ $x$

　正弦定理より

$$\displaystyle\frac{x}{\sin60^\circ}=2\sqrt{3}$$

$$x=2\sqrt{3}\sin60^\circ$$

$$\displaystyle x=2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$x=3$$

問題文に「外接円の半径」があったら，正弦定理を思い出すことが大切だね！

正弦定理の使い方②

$\displaystyle\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$

２組の向かい合う辺と角（$\sin$ の値）のうち３つが与えられているなら，残りの辺または角（$\sin$ の値）が求まる

　簡単に表すと

$$\displaystyle\frac{●}{\sin ■}=\frac{○}{\sin □}$$

２組の向かい合う辺と角で式を作る

辺の長さを求める

　$\triangle ABC$ において，$b=2$，$A=60^\circ$，$B=45^\circ$ であるとき，$a$ を求めよ。

正弦定理より \begin{eqnarray} \frac{a}{\sin60^\circ} &=& \frac{2}{\sin45^\circ} \\\\ a\sin45^\circ &=& 2\sin60^\circ (※)\\\\ a\times\frac{1}{\sqrt{2}} &=& 2×\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ a &=& \sqrt{6} \end{eqnarray}

（※）について

$$\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

両辺に $bd$ をかけると　$ad=bc$

正弦定理の計算をするときは斜めにかける

角（$\sin$ の値）を求める

　$\triangle ABC$ において，$a=2$，$b=3$，$B=45^\circ$ であるとき，$\sin A$ を求めよ。

正弦定理より \begin{eqnarray} \frac{2}{\sin A} &=& \frac{3}{\sin45^\circ} \\\\ 3\sin A &=& 2\sin45^\circ \\\\ 3\sin A &=& 2\times\frac{1}{\sqrt{2}} \\\\ \sin A &=& \frac{\sqrt{2}}{3} \end{eqnarray}

正弦定理の証明

円周角の定理と直径を斜辺とする直角三角形を利用して、
$\displaystyle{\frac{a}{\sin A}=2R}$ を $\angle\textrm{A}$ が鋭角・直角・鈍角によって分けて考える。

（ア）$\textrm{A}<90^\circ$ のとき

　　円周角の定理より　$\sin A=\sin D$　…　①
　　$\triangle\textrm{BCD}$ について　$\displaystyle{\sin D=\frac{a}{2R}}$　…　②
　　①、②より　$\displaystyle{\sin A=\frac{a}{2R}}$
　　すなわち　　$\displaystyle{\frac{a}{\sin A}=2R}$

（イ）$\textrm{A}=90^\circ$ のとき

\begin{eqnarray} \sin A &=& \sin 90^\circ \\ &=& 1 \\ &=& \frac{a}{2R} \end{eqnarray}

（ウ）$\textrm{A}>90^\circ$ のとき

　　円に内接する四角形の性質より　$A=180^\circ-D$
　　よって　$\sin A=\sin(180^\circ-D)=\sin D$　…　①
　　また　$\displaystyle{\sin D=\frac{a}{2R}}$　…　②
　　①、②より　$\displaystyle{\sin A=\frac{a}{2R}}$
　　すなわち　　$\displaystyle{\frac{a}{\sin A}=2R}$