点と直線の距離

高校数学Ⅱで学ぶ『点と直線の距離』について解説！

図形と方程式の単元で最も使う公式と言っても過言ではない公式です！

この投稿を見れば、『点と直線の距離』はバッチリ！

点と直線の距離とは

点から直線に下ろした垂線の長さが「点と直線の距離」

点と直線の距離は $d$ という文字がよく使われる

「distance（距離）」の頭文字と覚えておこう

　

原点と直線の距離を求める

$2x+3y-4=0$ を式変形すると　$\displaystyle{y=-\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}}$

直線 $\displaystyle{y=-\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}}$ と垂直で原点を通る直線は　$\displaystyle{y=\frac{3}{2}x}$

$\displaystyle{y=-\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}}$　と　$\displaystyle{y=\frac{3}{2}x}$　の交点を求めると
（連立方程式を解くと求まる）

　$\displaystyle{\left(\frac{8}{13}，\frac{12}{13}\right)}$

原点と直線 $2x+3y-4=0$ の距離 $d$ は

原点と点 $\displaystyle{\left(\frac{8}{13}，\frac{12}{13}\right)}$ の距離と等しいので

　$\displaystyle{d=\sqrt{\left(\frac{8}{13}\right)^2+\left(\frac{12}{13}\right)^2}}$

　　$\displaystyle{=\sqrt{\left(\frac{4\cdot2}{13}\right)^2+\left(\frac{4\cdot3}{13}\right)^2}}$

　　$\displaystyle{=\sqrt{\frac{4^2\cdot2^2+4^2\cdot3^2}{13^2}}}$

　　$\displaystyle{=\sqrt{\frac{4^2(2^2+3^2)}{13^2}}}$

　　$\displaystyle{=\sqrt{\frac{4^2\cdot13}{13^2}}}$

　　$\displaystyle{=\frac{4}{\sqrt{13}}}$

　

原点と直線の距離の公式

$ax+by+c=0$ を式変形すると　$\displaystyle{y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}}$

直線 $\displaystyle{y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}}$ と垂直で原点を通る直線は　$\displaystyle{y=\frac{b}{a}x}$

$\displaystyle{y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}}$　と　$\displaystyle{y=\frac{b}{a}x}$　の交点を求めると

$y$ を消去して　　　$\displaystyle{\frac{b}{a}x=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}}$

　　　　　　$\displaystyle{\frac{b}{a}x+\frac{a}{b}x=-\frac{c}{b}}$

　　　　　$\displaystyle{\frac{b^2}{ab}x+\frac{a^2}{ab}x=-\frac{c}{b}}$

　　　　　　$\displaystyle{\frac{a^2+b^2}{ab}x=-\frac{c}{b}}$

　　　　　　　　　　$\displaystyle{x=-\frac{ac}{a^2+b^2}}$

これを $\displaystyle{y=\frac{b}{a}x}$ に代入すると

　　　　$\displaystyle{y=-\frac{bc}{a^2+b^2}x}$

以上より，$\displaystyle{y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}}$　と　$\displaystyle{y=\frac{b}{a}x}$　の交点は

　$\displaystyle{\left(-\frac{ac}{a^2+b^2}，-\frac{bc}{a^2+b^2}\right)}$

原点と直線 $ax+by+c=0$ の距離 $d$ は

原点と点 $\displaystyle{\left(-\frac{ac}{a^2+b^2}，-\frac{bc}{a^2+b^2}\right)}$ の距離と等しいので

　$\displaystyle{d=\sqrt{\left(-\frac{ac}{a^2+b^2}\right)^2+\left(-\frac{bc}{a^2+b^2}\right)^2}}$

　　$\displaystyle{=\sqrt{\frac{a^2c^2+b^2c^2}{(a^2+b^2)^2}}}$

　　$\displaystyle{=\sqrt{\frac{c^2(a^2+b^2)}{(a^2+b^2)^2}}}$

　　$\displaystyle{=\sqrt{\frac{c^2}{a^2+b^2}}}$

　　$\displaystyle{=\frac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}}$　( $\sqrt{c^2}=|c|$ を用いている)

　

　

点と直線の距離の公式

　

点 $(x_1，y_1)$ を原点に平行移動するには

$x$ 軸方向に $-x_1$，$y$ 軸方向に $-y_1$ だけ平行移動すればよい

同様に，直線 $ax+by+c=0$ を

$x$ 軸方向に $-x_1$，$y$ 軸方向に $-y_1$ だけ平行移動すると

　$a(x+x_1)+b(y+y_1)+c=0$

　　$ax+by+ax_1+by_1+c=0$

原点と直線 $ax+by+$$ax_1+by_1+c$$=0$ の距離が $d$ と等しいので

「原点と直線の距離」公式

　　原点と直線 $○x+□y+$$△$$=0$ の距離は　$\displaystyle{\frac{|△|}{\sqrt{○^2+□^2}}}$

を用いて

　　　$\displaystyle{d=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}}$

　

　

原点と直線の距離の公式は覚えなくてよい

点 $(x_1，y_1)$ と直線 $ax+by+c=0$ の距離 $d$ は

　　$\displaystyle{d=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}}$

を覚えておけば

原点は $x_1=0$，$y_1=0$ となるので

原点と直線 $ax+by+c=0$ の距離は　$\displaystyle{d=\frac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}}$

と求めることができる

　

点と直線の距離の公式を使う

(1)　原点と直線 $x+3y-1=0$

　　$\displaystyle{d=\frac{|1\cdot0-3\cdot0-1|}{\sqrt{1^2+(-3)^2}}}$

　　　$\displaystyle{=\frac{|-1|}{\sqrt{10}}}$

　　　$\displaystyle{=\frac{1}{\sqrt{10}}}$

　
(2)　点 $(2，1)$ と直線 $3x+4y+5=0$

　　$\displaystyle{d=\frac{|3\cdot2+4\cdot1+5|}{\sqrt{3^2+4^2}}}$

　　　$\displaystyle{=\frac{|15|}{\sqrt{25}}}$

　　　$\displaystyle{=\frac{15}{5}}$

　　　$=3$

　

まとめ

● 点と直線の距離とは

　点から直線に垂線を下ろしたときの垂線の長さ

● 点と直線の距離

　点 $(x_1，y_1)$ と直線 $ax+by+c=0$ の距離 $d$ は

　　　$\displaystyle{d=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}}$