異なる２つの○より大きい解・小さい解に関する問題を解説！

高校数学Ⅰの２次関数の応用問題の１つである

２次方程式が○より大きい異なる２つの解をもつ
２次方程式が○より小さい異なる２つの解をもつ
２次方程式が○より大きい解と○より小さい解をもつ
２次方程式が○と□の間と□と△の間に解をもつ

という問題をわかりやすく解説しました！

２次関数の図をかいて、それぞれの条件を整理すれば必ず解けます！

問題
○より大きい異なる２つの解をもつ
○より小さい異なる２つの解をもつ
○より大きい解と○より小さい解をもつ
○と□の間と□と△の間に解をもつ

問題

(1)　２次方程式 $x^2-2ax+3a=0$ が $2$ より大きい異なる２つの解をもつときの $a$ の値の範囲を求めよ。
(2)　２次方程式 $x^2-2ax-a+2=0$ が $3$ より小さい異なる２つの解をもつときの $a$ の値の範囲を求めよ。
(3)　２次方程式 $x^2-2ax-a+2=0$ が $1$ より大きい解と $1$ より小さい解をもつときの $a$ の値の範囲を求めよ。
(4)　２次方程式 $x^2-2ax-a+2=0$ の１つの解が $0$ と $1$ の間に、もう１つの解が $1$ と $2$ の間にあるときの $a$ の値の範囲を求めよ。

(1)
$f(x)=x^2-2ax+3a$ とおくと
方程式 $f(x)=0$ が異なる２つの $2$ より大きい解をもつための条件は $y=f(x)$ のグラフが $x$ 軸の $2$ より大きい部分と異なる２つの共有点をもつことである
よって，次の [1]～[3] がすべて成り立つ

[1]　$x$ 軸と異なる２つの共有点をもつ
　$f(x)=0$ の判別式を $D$ とすると
　　　$\displaystyle{\frac{D}{4}=a^2-3a=a(a-3)}$
　$D>0$ より　　$a<0$，$3<a$　…　①

[2]　軸が $x>2$ の部分にある
　$y=f(x)$ の軸は直線 $x=a$ であるから　$a>2$　…　②

[3]　$x=2$ における $y$ 座標が正
　$f(2)>0$ であるから　$f(2)=-a+4>0$
　よって　$\displaystyle{a<4}$　…　③

①～③の共通範囲をとって　　$3<a<4$

(2)
$f(x)=x^2-2ax-a+2$ とおくと
方程式 $f(x)=0$ が異なる２つの $3$ より小さい解をもつための条件は $y=f(x)$ のグラフが $x$ 軸の $3$ より小さい部分と異なる２つの共有点をもつことである
よって，次の [1]～[3] がすべて成り立つ

[1]　$x$ 軸と異なる２つの共有点をもつ
　$f(x)=0$ の判別式を $D$ とすると
　　　$\displaystyle{\frac{D}{4}=a^2-(-a+2)=(a-1)(a+2)}$
　$D>0$ より　　$a<-2$，$1<a$　…　①

[2]　軸が $x<3$ の部分にある
　$y=f(x)$ の軸は直線 $x=a$ であるから　$a<3$　…　②

[3]　$x=3$ における $y$ 座標が正
　$f(3)>0$ であるから　$f(3)=-7a+11>0$
　よって　$\displaystyle{a<\frac{11}{7}}$　…　③

①～③の共通範囲をとって　　$\displaystyle{a<\frac{11}{7}}$

(3)
$f(x)=x^2-2ax-a+2$ とおくと
方程式 $f(x)=0$ が $1$ より大きい解と $1$ より小さい解をもつための条件は $y=f(x)$ のグラフが $x$ 軸の $1$ より大きい部分と $1$ より小さい部分で共有点をもつことである
すなわち　　$x=1$ における $y$ 座標が負
$f(1)<0$ であるから　$f(1)=-3a+3<0$
よって　　　$a>1$

(4)　$f(x)=x^2-2ax-a+2$ とおくと
方程式 $f(x)=0$ の１つの解が $0$ と $1$ の間に、もう１つの解が $1$ と $2$ の間にあるための条件は $y=f(x)$ のグラフが図のように $x$ 軸と共有点をもつことである

[1]　$f(0)>0$ より　　$f(0)=-a+2>0$
　　よって　　$a<2$　…　①

[2]　$f(1)<0$ より　　$f(1)=-3a+3<0$
　　よって　　$a>1$　…　②

[3]　$f(2)>0$ より　　$f(2)=-5a+6>0$
　　よって　　$\displaystyle{a<\frac{6}{5}}$　…　③

①～③の共通範囲をとって　　$\displaystyle{1<a<\frac{6}{5}}$

答えを見る

○より大きい異なる２つの解をもつ

２次方程式が○より大きい異なる２つの解をもつときの条件

２次方程式 $f(x)=0$ が○より大きい異なる２つの解をもつ
$\iff$　２次関数 $y=f(x)$ が $x$ 軸の○より大きい部分と異なる２つの共有点をもつ

[1]　$D>0$　　← $x$ 軸と異なる２つの共有点
[2]　軸 $>○$　　← 軸が $x>○$ の部分にある
[3]　$f(○)>0$　　← $x=○$ における $y$ 座標が正

[1]判別式・[2]軸の位置・[3]端点の $y$ 座標に着目する

問題

(1)　２次方程式 $x^2-2ax+3a=0$ が $2$ より大きい異なる２つの解をもつときの $a$ の値の範囲を求めよ。

解答

[1]　$x$ 軸と異なる２つの共有点をもつ（判別式）
　$f(x)=0$ の判別式を $D$ とすると
　　　$\displaystyle{\frac{D}{4}=a^2-3a=a(a-3)}$
　$D>0$ より　　$a<0$，$3<a$　…　①

[2]　軸が $x>2$ の部分にある（軸の位置）
　$y=f(x)$ の軸は直線 $x=a$ であるから　$a>2$　…　②

[3]　$x=2$ における $y$ 座標が正（端点の $y$ 座標）
　$f(2)>0$ であるから　$f(2)=-a+4>0$
　よって　$\displaystyle{a<4}$　…　③

①～③の共通範囲をとって　　$3<a<4$

○より小さい異なる２つの解をもつ

２次方程式が○より小さい異なる２つの解をもつときの条件

２次方程式 $f(x)=0$ が○より小さい異なる２つの解をもつ
$\iff$　２次関数 $y=f(x)$ が $x$ 軸の○より小さい部分と異なる２つの共有点をもつ

[1]　$D>0$　　← $x$ 軸と異なる２つの共有点
[2]　軸 $<○$　　← 軸が $x<○$ の部分にある
[3]　$f(○)>0$　　← $x=○$ における $y$ 座標が正

[1]判別式・[2]軸の位置・[3]端点の $y$ 座標に着目する

問題

(2)　２次方程式 $x^2-2ax-a+2=0$ が $3$ より小さい異なる２つの解をもつときの $a$ の値の範囲を求めよ。

解答

[1]　$x$ 軸と異なる２つの共有点をもつ（判別式）
　$f(x)=0$ の判別式を $D$ とすると
　　　$\displaystyle{\frac{D}{4}=a^2-(-a+2)=(a-1)(a+2)}$
　$D>0$ より　　$a<-2$，$1<a$　…　①

[2]　軸が $x<3$ の部分にある（軸の位置）
　$y=f(x)$ の軸は直線 $x=a$ であるから　$a<3$　…　②

[3]　$x=3$ における $y$ 座標が正（端点の $y$ 座標）
　$f(3)>0$ であるから　$f(3)=-7a+11>0$
　よって　$\displaystyle{a<\frac{11}{7}}$　…　③

①～③の共通範囲をとって　　$\displaystyle{a<\frac{11}{7}}$

○より大きい解と○より小さい解をもつ

２次方程式が○より大きい解と○より小さい解をもつときの条件

２次方程式 $f(x)=0$ が○より大きい解と○より小さい解をもつ
$\iff$　２次関数 $y=f(x)$ が $x$ 軸の○より大きい部分と小さい部分で共有点をもつ

[3]　$f(○)<0$　　← $x=○$ における $y$ 座標が負

端点の $y$ 座標に着目する

※[1] 判別式と [2] 軸の位置は必要ない

問題

(3)　２次方程式 $x^2-2ax-a+2=0$ が $1$ より大きい解と $1$ より小さい解をもつときの $a$ の値の範囲を求めよ。

解答

(3)
$f(x)=x^2-2ax-a+2$ とおくと
方程式 $f(x)=0$ が $1$ より大きい解と $1$ より小さい解をもつための条件は $y=f(x)$ のグラフが $x$ 軸の $1$ より大きい部分と $1$ より小さい部分で共有点をもつことである
すなわち　　$x=1$ における $y$ 座標が負（端点の $y$ 座標）
$f(1)<0$ であるから　$f(1)=-3a+3<0$
よって　　　$a>1$