異なる2つの○より大きい・小さい解

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異なる2つの○より大きい解・小さい解 数学Ⅰ

高校数学Ⅰの2次関数の応用問題の1つである

2次方程式が○より大きい異なる2つの解をもつ
2次方程式が○より小さい異なる2つの解をもつ
2次方程式が○より大きい解と○より小さい解をもつ

2次方程式が○と□の間と□と△の間に解をもつ

という問題をわかりやすく解説しました!

2次関数の図をかいて、それぞれの条件を整理すれば必ず解けます!

問題

問題
(1) 2次方程式 $x^2-2ax+3a=0$ が $2$ より大きい異なる2つの解をもつときの $a$ の値の範囲を求めよ。
(2) 2次方程式 $x^2-2ax-a+2=0$ が $3$ より小さい異なる2つの解をもつときの $a$ の値の範囲を求めよ。
(3) 2次方程式 $x^2-2ax-a+2=0$ が $1$ より大きい解と $1$ より小さい解をもつときの $a$ の値の範囲を求めよ。
(4) 2次方程式 $x^2-2ax-a+2=0$ の1つの解が $0$ と $1$ の間に、もう1つの解が $1$ と $2$ の間にあるときの $a$ の値の範囲を求めよ。

 

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○より大きい異なる2つの解をもつ

2次方程式が○より大きい異なる2つの解をもつときの条件

2次方程式 $f(x)=0$ が○より大きい異なる2つの解をもつ
$\iff$ 2次関数 $y=f(x)$ が $x$ 軸の○より大きい部分と異なる2つの共有点をもつ

[1] $D>0$  ← $x$ 軸と異なる2つの共有点
[2] 軸 $>○$  ← 軸が $x>○$ の部分にある
[3] $f(○)>0$  ← $x=○$ における $y$ 座標が正

[1]判別式・[2]軸の位置・[3]端点の $y$ 座標に着目する

 

問題
(1) 2次方程式 $x^2-2ax+3a=0$ が $2$ より大きい異なる2つの解をもつときの $a$ の値の範囲を求めよ。

 

解答

(1)
$f(x)=x^2-2ax+3a$ とおくと
方程式 $f(x)=0$ が異なる2つの $2$ より大きい解をもつための条件は $y=f(x)$ のグラフが $x$ 軸の $2$ より大きい部分と異なる2つの共有点をもつことである
よって,次の [1]~[3] がすべて成り立つ

[1] $x$ 軸と異なる2つの共有点をもつ(判別式)
 $f(x)=0$ の判別式を $D$ とすると
   $\displaystyle{\frac{D}{4}=a^2-3a=a(a-3)}$
 $D>0$ より  $a<0$,$3<a$ … ①

[2] 軸が $x>2$ の部分にある(軸の位置)
 $y=f(x)$ の軸は直線 $x=a$ であるから $a>2$ … ②

[3] $x=2$ における $y$ 座標が正(端点の $y$ 座標)
 $f(2)>0$ であるから $f(2)=-a+4>0$
 よって $\displaystyle{a<4}$ … ③

①~③の共通範囲をとって  $3<a<4$

○より小さい異なる2つの解をもつ

2次方程式が○より小さい異なる2つの解をもつときの条件

2次方程式 $f(x)=0$ が○より小さい異なる2つの解をもつ
$\iff$ 2次関数 $y=f(x)$ が $x$ 軸の○より小さい部分と異なる2つの共有点をもつ

[1] $D>0$  ← $x$ 軸と異なる2つの共有点
[2] 軸 $<○$  ← 軸が $x<○$ の部分にある
[3] $f(○)>0$  ← $x=○$ における $y$ 座標が正

[1]判別式・[2]軸の位置・[3]端点の $y$ 座標に着目する

 

問題
(2) 2次方程式 $x^2-2ax-a+2=0$ が $3$ より小さい異なる2つの解をもつときの $a$ の値の範囲を求めよ。

 

解答

(2)
$f(x)=x^2-2ax-a+2$ とおくと
方程式 $f(x)=0$ が異なる2つの $3$ より小さい解をもつための条件は $y=f(x)$ のグラフが $x$ 軸の $3$ より小さい部分と異なる2つの共有点をもつことである
よって,次の [1]~[3] がすべて成り立つ

[1] $x$ 軸と異なる2つの共有点をもつ(判別式)
 $f(x)=0$ の判別式を $D$ とすると
   $\displaystyle{\frac{D}{4}=a^2-(-a+2)=(a-1)(a+2)}$
 $D>0$ より  $a<-2$,$1<a$ … ①

[2] 軸が $x<3$ の部分にある(軸の位置)
 $y=f(x)$ の軸は直線 $x=a$ であるから $a<3$ … ②

[3] $x=3$ における $y$ 座標が正(端点の $y$ 座標)
 $f(3)>0$ であるから $f(3)=-7a+11>0$
 よって $\displaystyle{a<\frac{11}{7}}$ … ③

①~③の共通範囲をとって  $\displaystyle{a<\frac{11}{7}}$

○より大きい解と○より小さい解をもつ

2次方程式が○より大きい解と○より小さい解をもつときの条件

2次方程式 $f(x)=0$ が○より大きい解と○より小さい解をもつ
$\iff$ 2次関数 $y=f(x)$ が $x$ 軸の○より大きい部分と小さい部分で共有点をもつ

[3] $f(○)<0$  ← $x=○$ における $y$ 座標が負

端点の $y$ 座標に着目する

※[1] 判別式 と [2] 軸の位置 は必要ない

 

問題
(3) 2次方程式 $x^2-2ax-a+2=0$ が $1$ より大きい解と $1$ より小さい解をもつときの $a$ の値の範囲を求めよ。

 

解答

(3)
$f(x)=x^2-2ax-a+2$ とおくと
方程式 $f(x)=0$ が $1$ より大きい解と $1$ より小さい解をもつための条件は $y=f(x)$ のグラフが $x$ 軸の $1$ より大きい部分と $1$ より小さい部分で共有点をもつことである
すなわち  $x=1$ における $y$ 座標が負(端点の $y$ 座標)
$f(1)<0$ であるから $f(1)=-3a+3<0$
よって   $a>1$

○と□の間と□と△の間に解をもつ

2次方程式の1つの解が○と□の間に、もう1つの解が□と△の間にあるときの条件

2次方程式 $f(x)=0$ の1つの解が○と□の間に、もう1つの解が□と○の間にある
$\iff$ 2次関数 $y=f(x)$ が $x$ 軸と○と□の間に1つ、□と△の間にもう1つ共有点をもつ

 $f(○)>0$  ← $x=○$ における $y$ 座標が正
 $f(□)<0$  ← $x=□$ における $y$ 座標が負
 $f(△)>0$  ← $x=△$ における $y$ 座標が正

 

問題
(1) 2次方程式 $x^2-2ax+3a=0$ が異なる2つの $2$ より大きい解をもつときの $a$ の値の範囲を求めよ。

 

解答

(4) $f(x)=x^2-2ax-a+2$ とおくと
方程式 $f(x)=0$ の1つの解が $0$ と $1$ の間に、もう1つの解が $1$ と $2$ の間にあるための条件は $y=f(x)$ のグラフが図のように $x$ 軸と共有点をもつことである

[1] $f(0)>0$ より  $f(0)=-a+2>0$
  よって  $a<2$ … ①

[2] $f(1)<0$ より  $f(1)=-3a+3<0$
  よって  $a>1$ … ②

[3] $f(2)>0$ より  $f(2)=-5a+6>0$
  よって  $\displaystyle{a<\frac{6}{5}}$ … ③

①~③の共通範囲をとって  $\displaystyle{1<a<\frac{6}{5}}$

 

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🔵標準…基本問題や公式の理解度が重要!
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