等差×等比の和

等差×等比の数列

$1\cdot1，2\cdot2，3\cdot2^2，\cdots\cdots，10\cdot2^9$

のように，

×の前の数列　$1，2，3，\cdots\cdots，10$　が

初項 $1$，公差 $1$ の等差数列

×の後ろの数列　$1，2，2^2，\cdots\cdots，2^9$　が

初項 $1$，公比 $2$ の等比数列

これを「等差×等比」の数列という

この「等差×等比」の数列の和

$1\cdot1+2\cdot2+3\cdot2^2+\cdots\cdots+10\cdot2^9$

を計算する方法のヒントが等比数列の和の考え方にある

等比数列の和

\begin{eqnarray} 　S &=& 　1&+&2&+&2^2&+&2^3&+&2^4&+&2^5& \\ -\large{)}　2S &= &&&2&+&2^2&+&2^3&+&2^4&+&2^5&+&2^6\\ \hline -S &=& 　1&&&&&&&&&&&-&2^6 \\\\ S &=& 2^6-1 \\\\ S &=& 63 \end{eqnarray}

　

　

等差×等比の和

　

　

　両辺に $2$ をかけると

$2S=1\cdot2+2\cdot2^2+3\cdot2^3+\cdots\cdots+10\cdot2^{10}$

　辺々を引くと

\begin{eqnarray} 　S &=&1\cdot1&+&2\cdot2&+&3\cdot2^2&+&4\cdot2^3&+&\cdots\cdots+&10\cdot2^9& \\ -\large{)}　2S &= &&+&1\cdot2&+&2\cdot2^2&+&3\cdot2^3&+&\cdots\cdots+&9\cdot2^9&+10\cdot2^{10}\\ \hline -S &=&　1&+&　2&+&　2^2&+&　2^3&+&\cdots\cdots+&　2^9&-10\cdot2^{10} \end{eqnarray}

　ここで，

$1+2+2^2+2^3+\cdots\cdots+2^9$

　は初項 $1$，公比 $2$，項数 $10$ の等比数列の和なので

\begin{eqnarray} &&1+2+2^2+2^3+\cdots\cdots+2^9 \\\\ &=& \frac{2^{10}-1}{2-1} \end{eqnarray}

　よって，

\begin{eqnarray} -S &=& \frac{2^{10}-1}{2-1}-10\cdot2^{10} \\\\ S &=& 10\cdot2^{10}-(2^{10}-1) \\\\ &=& 9\cdot2^{10}+1 \\\\ &=& 9\cdot1024+1 \\\\ &=& 9217 \end{eqnarray}

　

　

　両辺に $3$ をかけると

$3S=1\cdot3+2\cdot3^2+3\cdot3^3+\cdots\cdots+6\cdot3^6$

　辺々を引くと

\begin{eqnarray} 　S &=&1\cdot1&+&2\cdot3&+&3\cdot3^2&+&4\cdot3^3&+&\cdots\cdots+&6\cdot3^5& \\ -\large{)}　3S &= &&+&1\cdot3&+&2\cdot3^2&+&3\cdot3^3&+&\cdots\cdots+&5\cdot3^5&+6\cdot3^6\\ \hline -2S &=&　1&+&　3&+&　3^2&+&　3^3&+&\cdots\cdots+&　3^5&-6\cdot3^6 \end{eqnarray}

　ここで，

$1+3+3^2+3^3+\cdots\cdots+3^5$

　は初項 $1$，公比 $3$，項数 $6$ の等比数列の和なので

\begin{eqnarray} &&1+3+3^2+3^3+\cdots\cdots+3^5 \\\\ &=& \frac{3^6-1}{3-1} \end{eqnarray}

　よって，

\begin{eqnarray} -2S &=& \frac{3^6-1}{3-1}-6\cdot3^6 \\\\ 2S &=& 6\cdot3^6-\frac{3^6-1}{2} \\\\ 2S &=& 6\cdot3^6-364 \\\\ S &=& 3^7-182 \\\\ &=& 2005 \end{eqnarray}

　

Σを用いた等差×等比の和

\begin{eqnarray} S &=& \sum_{k=1}^n (k+1)\cdot2^{k-1} \\\\ &=& 2\cdot1+3\cdot2+4\cdot2^2+5\cdot2^3+\cdots\cdots+(n+1)\cdot2^{n-1} \end{eqnarray}

　両辺に $2$ をかけると

$2S=2\cdot2+3\cdot2^2+4\cdot2^3+\cdots\cdots+(n+1)\cdot2^n$

　辺々を引くと

\begin{eqnarray} 　S &=&2\cdot1&+&3\cdot2&+&4\cdot2^2&+&5\cdot2^3&+&\cdots\cdots+&(n+1)\cdot2^{n-1}& \\ -\large{)}　2S &= &&+&2\cdot2&+&3\cdot2^2&+&4\cdot2^3&+&\cdots\cdots+&　　　n\cdot2^{n-1}&+(n+1)\cdot2^n\\ \hline -S &=&　2&+&　2&+&　2^2&+&　2^3&+&\cdots\cdots+&　　　　　2^{n-1}&-(n+1)\cdot2^n \end{eqnarray}

　ここで，

$2+2^2+2^3+\cdots\cdots+2^{n-1}$

　は初項 $2$，公比 $2$，項数 $(n-1)$ の等比数列の和なので

\begin{eqnarray} &&2+2^2+2^3+\cdots\cdots+2^{n-1} \\\\ &=& \frac{2(2^{n-1}-1)}{2-1} \end{eqnarray}

　よって，

\begin{eqnarray} -S &=& 2+\frac{2(2^{n-1}-1)}{2-1}-(n+1)\cdot2^n \\\\ -S &=& 2+2^n-2-n\cdot2^n-2^n \\\\ S &=& n\cdot2^n \end{eqnarray}

　

まとめ

● 等差×等比の和

　等比数列の公比をかけてずらして引き算