等比数列の一般項

等比数列とは

等比数列 … 初項に一定の数をかけて得られる数列

かけていく一定の数のことを　公比　といい，$r$ で表す

等差数列の例

等比数列の一般項

初項 $a$，公比 $r$ の等比数列 $\{a_n\}$

\begin{eqnarray} a_1 &=& a \\ a_2 &=& ar \\ a_3 &=& ar^2 \\ a_4 &=& ar^3 \\ &&\cdots\cdots \\ &&\cdots\cdots \\ &&\cdots\cdots \\ a_n &=& ar^{n-1} \\ \end{eqnarray}

　

第 $2$ 項は初項に公比を $1$ 回かけると求まる

第 $3$ 項は初項に公比を $2$ 回かけると求まる

第 $4$ 項は初項に公比を $3$ 回かけると求まる

これより

第 $n$ 項は 初項に公比を $(n-1)$ 回かけると求まる

　

　

　(1)　初項 $2$，公比 $3$

$a_n=2\cdot3^{n-1}$

　

　(2)　初項 $-2$，公比 $-3$

$a_n=-2(-3)^{n-1}$

　

　(3)　初項 $3$，公比 $3$

$a_n=3\cdot3^{n-1}=3^n$

　

　(4)　初項 $1$，公比 $\displaystyle{\frac{1}{2}}$

$\displaystyle{a_n=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}}$

　

＜かっこが外せない理由＞

　$(-2)^{n-1}$ と $-2^{n-1}$ は異なる文字式

　$n=3$ を代入してみると

　$(-2)^{n-1}$ は $(-2)^2=4$（$(-2)$ を $2$ 回かける）

　$-2^{n-1}$ は $-2^2=-4$（$2$ を $2$ 回かけてマイナスをつける）

　同じ数を代入して異なる数になるので，$(-2)^{n-1}$ と $-2^{n-1}$ は異なる文字式

問題

初項 $a$，公比 $r$ とすると

$a_n=ar^{n-1}$

$a_4=24$ より

$ar^3=24$　$\cdots\cdots$　①

$a_6=96$ より

$ar^5=96$　$\cdots\cdots$　②

②について

$(ar^3)\cdot r^2=96$

①を代入すると

$24r^2=96$

$r^2=4$

$r=±2$

$r=2$ のとき，$a=3$

$r=-2$ のとき，$a=-3$

したがって

$a_n=3\cdot2^{n-1}$　または　$a_n=-3(-2)^{n-1}$

　

まとめ

● 等比数列の一般項

　初項 $a$，公比 $r$ の等差数列 $\{a_n\}$ の一般項は

$a_n=ar^{n-1}$