等比数列の一般項
初項 $a$，公比 $r$ の等差数列 $\{a_n\}$ の一般項は
$a_n=ar^{n-1}$
詳しくはこれ↓
等比数列の和
初項 $1$，公比 $2$ の等比数列の初項から第 $6$ 項までの和を計算してみよう！
どうすれば簡単に計算できるのかな？
等比数列の和は公比をかけてずらして引き算することで求まるよ！
この方法が等比数列の和を計算するときに使えるよ！
一般化してみよう！
初項が $a$，公比 $r$ の等差数列において，初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ で表すと
$S_n=a+ar+ar^2+\cdots\cdots+a^{n-1}$
公比 $r$ をかけてずらして引くと
\begin{eqnarray} S_n &=& a&+&ar&+&ar^2&+&\cdots\cdots&+&ar^{n-1} \\ -\large{)} rS_n &=&&&ar&+&ar^2&+&\cdots\cdots&+&ar^{n-1}&+&ar^n\\ \hline (1-r)S_n &=& a&&&&&&&&&-&ar^n \\\\ (1-r)S_n &=& a(1-r^n) \\\\ S_n &=& \frac{a(1-r^n)}{1-r} \end{eqnarray}
$\displaystyle{S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}}$
このように表すこともできる
$\displaystyle{S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1}}$
初項 $a$，公比 $r$ の等比数列の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする
$\displaystyle{S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}}$ または $\displaystyle{S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}}$
この２つはどうやって使い分ければいいの？
$r>1$ のときは，$\displaystyle{S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}}$
$r<1$ のときは，$\displaystyle{S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}}$
と使い分けると計算が楽になるよ！
問題
(1) 初項 $1$，公比 $3$ の等差数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$
(2) 初項 $3$，公比 $-2$ の等差数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$
(3) 初項 $2$，公比 $\displaystyle{\frac{1}{3}}$ の等差数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$
(1) 初項 $1$，公比 $3$ の等差数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$
\begin{eqnarray} S_n &=& \frac{3^n-1}{3-1} \\\\ &=& \frac{3^n-1}{2} \end{eqnarray}
(2) 初項 $3$，公比 $-2$ の等差数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$
\begin{eqnarray} S_n &=& \frac{3\{1-(-2)^n\}}{1-(-2)} \\\\ &=& \frac{3\{1-(-2)^n\}}{3} \\\\ &=& 1-(-2)^n \end{eqnarray}
(3) 初項 $3$，公比 $\displaystyle{\frac{1}{3}}$ の等差数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$
\begin{eqnarray} S_n &=& \frac{3\{1-\left(\frac{1}{3}\right)^n\}}{1-\frac{1}{3}} \\\\ &=& \frac{3\{1-\left(\frac{1}{3}\right)^n\}}{\frac{2}{3}} \\\\ &=& \frac{9}{2}\{1-\left(\frac{1}{3}\right)^n\} \end{eqnarray}
和の公式を使えば簡単に和が求まるね！
初項から第 $3$ 項までの和が $3$，第 $2$ 項から第 $4$ 項までの和が $-6$ である等比数列の初項 $a$ と公比 $r$ を求めよ。
初項から第 $3$ 項までの和が $3$ なので
$a+ar+ar^2=3$ $\cdots\cdots$ ①
第 $2$ 項から第 $4$ 項までの和が $-6$ なので
$ar+ar^2+ar^3=-6$ $\cdots\cdots$ ②
②より
$r(a+ar+ar^2)=-6$
①に代入して
$3r=-6$
$r=-2$
これを①に代入すると
$a-2a+4a=3$
$a=1$
以上より
$a=1$，$r=-2$
まとめ
● 等比数列の和
初項 $a$，公比 $r$ の等比数列の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする
$\displaystyle{S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}}$ または $\displaystyle{S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}}$
等比数列の和の公式は登場する機会が多い！
マスターしよう！
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