素因数分解

素数

素数は

$2，3，5，7，11，13，17，19，23，\cdots$

合成数

合成数は

$4，6，8，9，10，12，14，15，16，\cdots$

$4=2・2$
$6=2・3$
$8=2・2・2$
$10=2・5$
$12=3・4$

以上のように合成数は $1$ 以外の整数の積で表すことができる

因数と素因数

$12=3・4$ における

$3$ と $4$ のような積を作る一つ一つを $12$ の因数という

因数の中でも素数である因数を素因数という

素因数分解とは

素因数分解とは

$60=2^2・3・5$
$126=2・3^2・7$

のように素数だけの積で表すこと

素因数分解のやり方

$60$ の素因数分解

$60=2^2・3・5$

素因数分解を用いる問題

$\sqrt{60n}$ が自然数になるのは，

$60n$ がある自然数の $2$ 乗になるとき

$60=2^2・3・5$　なので

$60n=2^2・3・5・n$

$n=3・5$ のとき

$60n=(2^2・3・5)・(3・5)=2^2・3^2・5^2=(2・3・5)^2$

よって，求める最小の自然数は　$n=15$

　

$\displaystyle{\sqrt{\frac{60}{n}}}$ が自然数になるのは

$\displaystyle{\frac{60}{n}}$ がある自然数の $2$ 乗になるとき

$60=2^2・3・5$　なので

$\displaystyle{\frac{60}{n}=\frac{2^2・3・5}{n}}$

$n=3・5$ のとき

$\displaystyle{\frac{60}{n}=\frac{2^2・3・5}{3・5}=2^2}$

$n=2^2・3・5$ のとき

$\displaystyle{\frac{60}{n}=\frac{2^2・3・5}{2^2・3・5}=1^2}$

よって，求める自然数は　$n=15，60$

平方根 $\sqrt{　}$ の復習はこれ↓

平方根

『平方根』とは何か？ 『平方根』とはどんな数か？ 『平方根』をきちんと理解することで，ルート（$\sqrt{　}$）の記号の理解も深まります！ 『平方根』をわかりやすく解説しているので， この記事を見れば，『平方根』を確実にマスターできます！

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2022.12.17

まとめ

● 素因数分解

　素数の積の形にすること

● $\sqrt{○n}$ を自然数にする

　素因数分解を用いて，$\sqrt{　}$ の中の $○n$ を $2$ 乗の形にする

問題

$\sqrt{120n}$ が自然数になるのは，

$120n$ がある自然数の $2$ 乗になるとき

$120=2^3・3・5$　なので

$120n=2^3・3・5・n$

$n=2・3・5$ のとき

$60n=(2^3・3・5)・(2・3・5)=2^4・3^2・5^2=(2^2・3・5)^2$

よって，求める最小の自然数は　$n=30$

$\displaystyle{\sqrt{\frac{180}{n}}}$ が自然数になるのは

$\displaystyle{\frac{180}{n}}$ がある自然数の $2$ 乗になるとき

$180=2^2・3^2・5$　なので

$\displaystyle{\frac{180}{n}=\frac{2^2・3^2・5}{n}}$

$n=5$ のとき

$\displaystyle{\frac{180}{n}=\frac{2^2・3^2・5}{5}=2^2・3^2}$

$n=2^2・5$ のとき

$\displaystyle{\frac{180}{n}=\frac{2^2・3^2・5}{2^2・5}=3^2}$

$n=3^2・5$ のとき

$\displaystyle{\frac{180}{n}=\frac{2^2・3^2・5}{3^2・5}=2^2}$

$n=2^2・3^2・5$ のとき

$\displaystyle{\frac{180}{n}=\frac{2^2・3^2・5}{2^2・3^2・5}=1^2}$

よって，求める自然数は　$n=5，20，45，180$