絶対不等式

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絶対不等式 数学Ⅰ

『絶対不等式』とは、どのような値をとっても成り立つ不等式のことをいいます。

この絶対不等式を利用した次のような問いがよく出題されます。

解がすべての実数であるような定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

すべての実数 $x$ について成り立つような定数 $k$ の範囲を求めよ。

問題文だけ見ると少し難しそうなので、『絶対不等式』は苦手な人が多い問題の1つです。

『絶対不等式』を解くコツは、2次不等式を解くときと同様に、2次関数のグラフを利用することです。

この投稿を見れば、『絶対不等式』を解けるようになります。

問題

問題
(1) 2次不等式 $x^2+2kx-3k+4>0$ の解がすべての実数であるとき,定数 $k$ の値の範囲を求めよ。
(2) $k≠2$ とする。2次不等式 $(k-2)x^2+2(k-1)x+3k-5<0$ の解がすべての実数であるとき,定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

 

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絶対不等式のポイント

絶対不等式のポイント

グラフの形(下に凸か上に凸か)グラフと $x$ 軸の共有点の個数を考える

●2次不等式 $ax^2+bx+c>0$ の解がすべての実数
 (すべての実数 $x$ について $ax^2+bx+c>0$ が成り立つ)

●2次不等式 $ax^2+bx+c<0$ の解がすべての実数
 (すべての実数 $x$ について $ax^2+bx+c<0$ が成り立つ)

絶対不等式(グラフの形が決まっている)

問題
(1) 2次不等式 $x^2+2kx-3k+4>0$ の解がすべての実数であるとき,定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

 

解答

●2次不等式 $ax^2+bx+c>0$ の解がすべての実数

グラフの形は下に凸で定まっているので、$D<0$ のみ考える

(1) $y=x^2+2kx-3k+4$ とおくと
 グラフが $x$ 軸より上側にあるとき
 解がすべての実数となる
 $x^2+2kx-3k+4=0$ の判別式を $D$ とすると
 グラフが $x$ 軸と交わらないので $D<0$
   $\displaystyle{\frac{D}{4}=k^2-(-3k+4)=(k-1)(k+4)}$

絶対不等式(グラフの形が決まっていない)

問題
(2) $k≠2$ とする。2次不等式 $(k-2)x^2+2(k-1)x+3k-5<0$ の解がすべての実数であるとき,定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

 

解答

●2次不等式 $ax^2+bx+c<0$ の解がすべての実数

(2) $y=(k-2)x^2+2(k-1)x+3k-5$ とおくと
 グラフが 上に凸 かつ $x$ 軸より上側にある とき
 解がすべての実数となる

 下に凸なので $k-2<0$ すなわち $k<2$ … ①
 $(k-2)x^2+2(k-1)x+3k-5=0$ の判別式を $D$ とすると
 グラフが $x$ 軸と交わらないので $D<0$
   $\displaystyle{\frac{D}{4}=(k-1)^2-(k-2)(3k-5)=-2k^2+9k-9=-(2k-3)(k-3)}$
 $D<0$ より  $-(2k-3)(k-3)<0$ すなわち $(2k-3)(k-3)>0$
 これを解いて  $\displaystyle{\frac{3}{2}<k<3}$ … ②
 ①,②の共通範囲をとって $\displaystyle{\frac{3}{2}<k<2}$

 

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