絶対値の方程式・不等式①

苦手な高校生が多い『絶対値の方程式と不等式』

『絶対値』が『原点からの距離を表している』ことを使えば，

『絶対値の方程式と不等式』は簡単に理解することができる！

この記事を読めば，『絶対値の方程式と不等式』 は完璧！

方程式 $|x|=c$ の解き方

　

　$|x|$ は点 $x$ の原点からの距離

　『方程式 $|x|=1$ を解く』とは

　『$(点xの原点からの距離)=1$ になる $x$ の値を求める』ということ

　原点からの距離が $1$ になる点は，

点 $1$ と点 $-1$ になる

　つまり，

方程式 $|x|=1$ を解くと、$x=±1$ になる

　『方程式 $|x|=1$ を解く』という問題を

　『原点からの距離が $1$ である $x$ の値を求める」

　という問題に言い換えることができるようにしよう

　

　原点からの距離が $2$ である $x$ を求めるので

$x=±2$

不等式 $|x|<c$ の解き方

　

　『不等式 $|x|<1$ を解く』とは

　『$(点xの原点からの距離)<1$ になる $x$ の値の範囲を求める』ということ

　原点からの距離が $1$ より小さくなる値の範囲は

$-1$ と $1$ の間

　数式で表すと、$x$ の範囲は　$-1<x<1$

　つまり，

不等式 $|x|<1$ を解くと、$-1<x<1$ になる

　『不等式 $|x|<1$ を解く』という問題を

『原点からの距離が $1$ より小さい $x$ の値の範囲を求める』

　という問題に言い換えることができるようにしよう

　

　原点からの距離が$2$より小さい$x$の範囲を求めるので

$-2<x<2$

不等式 $|x|>c$ の解き方

　

　『不等式 $|x|>1$ を解く』とは

　『$(点xの原点からの距離)>1$ になる $x$ の値の範囲を求める』ということ

　原点からの距離が $1$ より大きくなる値の範囲は，

$-1$ より小さい値と $1$ より大きい値になる

　数式で表すと，$x$ の値の範囲は　$x<-1，1<x$

　つまり，

不等式 $|x|>1$ を解くと，$x<-1，1<x$ になる

　『不等式 $|x|>1$ を解く』という問題を

『原点からの距離が$1$より大きい$x$の範囲を求める』

　という問題に言い換えることができるようにしよう

　

　原点からの距離が$2$より大きい$x$の範囲を求めるので

$x<-2，2<x$

数直線と不等式の関係

数直線を作れば、不等式は簡単に作れるということを知っておこう

数直線における大小関係は必ず以下のようになる

右にいけばいくほど大きい値になるので、大小関係は『$<$』の不等号で表すことができる

斜線部が $x$ のとりうる値の範囲なので，斜線部に $x$ を書くと不等式が簡単に作れる

問題

解答

(1)　$|x|=3$

　原点からの距離が $3$ である $x$ を求めるので

$x=±3$

　

(2)　$|x|≦3$

　原点からの距離が $3$ 以下の $x$ の値の範囲を求めるので

$-3≦x≦3$

　

(3)　$|x|>3$

　原点からの距離が $3$ より大きい $x$ の範囲を求めるので

$x<-3，3<x$

　

(4)　$|x|=-1$

　原点からの距離が $-1$ である $x$ は存在しないので

解はない

　

　

🔰基本…まずはこの記事から！
🔵標準…基本問題や公式の理解度が重要！
🔴応用…場合分けなど思考力が要求される！