高校数学Ⅱで習う『複素数の計算』をわかりやすく解説しました！
計算は数学の基本！
複素数の計算のルールを学べば、確実に計算できるようになります！
計算ミスが多い複素数の計算を学ぼう！
複素数とは
複素数の復習はこれ↓
２つの実数 $a$，$b$ を用いて $a+bi$ の形に表される数
ただし，$i=\sqrt{-1}$ （$i^2=-1$）
複素数の計算
ポイントをおさえて計算しよう！
加法と減法
(1) $(2-i)+(3+2i)$
(2) $(2-i)-(3+2i)$
(1) $(2-i)+(3+2i)=5+i$
(2) $(2-i)-(3+2i)=2-i-3-2i=-1-3i$
文字式の計算と同じだね！
乗法
(1) $(1+i)(2-3i)$
(2) $(2+3i)(2-3i)$
(3) $(2-3i)^2$
(1) $(1+i)(2-3i)$
$=2-3i+2i-3i^2$
$=2-3i+2i-3\cdot(-1)$
$=5-i$
(2) $(2+3i)(2-3i)$ ← $(a+b)(a-b)$
$=2^2-(3i)^2$ ← $a^2-b^2$
$=4-9i^2$
$=4-9\cdot(-1)$
$=13$
(3) $(2-3i)^2$ ← $(a-b)^2$
$=4-12i+9i^2$ ← $a^2-2ab+b^2$
$=4-12i+9\cdot(-1)$
$=-5-12i$
$i^2=-1$ を使うときは，計算ミスに注意しよう！
除法
除法の計算を学ぶ前に「共役な複素数」について学ぼう！
$2+i$ と共役な複素数は $2-i$
$\displaystyle{\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}}$ と共役な複素数は $\displaystyle{\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}}$
$-2i$ と共役な複素数は $2i$
$3$ と共役な複素数は $3$
互いに共役な複素数 $a+bi$，$a-bi$ の和と積
和 $(a+bi)+(a-bi)=2a$ $\cdots$ 実数
積 $(a+bi)(a-bi)=a^2-b^2i^2=a^2+b^2$ $\cdots$ 実数
分母の $i$ を消去する（分母を実数にする）ために，共役な複素数を分母分子にかける！
(1) $\displaystyle{\frac{1+3i}{1-2i}}$
(2) $\displaystyle{\frac{1}{i}}$
(1) $\displaystyle{\frac{1+3i}{1-2i}}$
$=\displaystyle{\frac{(1+3i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}}$
$=\displaystyle{\frac{1+2i+3i+6i^2}{1-4i^2}}$
$=\displaystyle{\frac{1+2i+3i+6\cdot(-1)}{1-4\cdot(-1)}}$
$=\displaystyle{\frac{-5+5i}{5}}$
$=\displaystyle{\frac{5(-1+i)}{5}}$
$=-1+i$
(2) $\displaystyle{\frac{1}{i}}$
$=\displaystyle{\frac{1\cdot(-i)}{i\cdot(-i)}}$
$=\displaystyle{\frac{-i}{-i^2}}$
$=\displaystyle{\frac{-i}{-(-1)}}$
$=-i$
有理化と似ているね！
$i^○$ の性質
$i^3，i^4$，$i^5$，$\cdots$ を計算してみよう！
$i$
$i^2=-1$
$i^3=i^2\cdot i=(-1)\cdot i=-i$
$i^4=i^3\cdot i=(-i)\cdot i=-i^2=-(-1)=1$
$i^5=i^4\cdot i=1\cdot i =i$
$i^6=i^5\cdot i=i\cdot i =i^2=-1$
$i^7=i^6\cdot i=(-1)\cdot i =-i$
$i^8=i^7\cdot i=(-i)\cdot i=-i^2=-(-1)=1$
$i^9=i^8\cdot i=1\cdot i =i$
$i$ → $-1$ → $-i$ → $1$
の順番になっているね！
$i=i^5=i^9=i^{13}=i^{17}=\cdots$
$-1=i^2=i^6=i^{10}=i^{14}=\cdots$
$-i=i^3=i^7=i^{11}=i^{15}=\cdots$
$1=i^4=i^8=i^{12}=i^{16}=\cdots$
この性質を使って問題を解いてみよう！
これで $i^○$ の計算はできるね！
負の数の平方根の計算
$\sqrt{-a}$ のまま扱わず，虚数単位 $i$ で表して計算することがポイント
(2) $\sqrt{-2}\sqrt{-8}$
(3) $\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{-2}}}$
(1) $\sqrt{-3}+\sqrt{-12}=\sqrt{3}i+2\sqrt{3}i=3\sqrt{3}i$
(2) $\sqrt{-2}\sqrt{-8}=\sqrt{2}i\cdot2\sqrt{2}i=4i^2=-4$
(3) $\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{-2}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}i}=\frac{\sqrt{3}\cdot(-\sqrt{2}i)}{\sqrt{2}i\cdot(-\sqrt{2}i)}=-\frac{\sqrt{6}}{2}i}$
平方根の性質 $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$，$\displaystyle{\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}}$ は $a>0$，$b>0$ のときに成り立つが、それ以外のときに成り立つとは限らないので注意
【誤答例】(2) $\sqrt{-2}\sqrt{-8}=\sqrt{(-2)(-8)}=\sqrt{16}=4$
(3) $\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{-2}}=\sqrt{-\frac{3}{2}}=\sqrt{\frac{3}{2}}i=\frac{\sqrt{6}}{2}i}$
まとめ
● 複素数の計算
- $i$ を文字と同じように扱う
- $i^2$ が出てきたら $-1$ に置き換える
● 共役な複素数
$a+bi$ と $a-bi$ は互いに共役な複素数
● 共役な複素数の性質
互いに共役な複素数の和と積は実数
● 複素数の除法
分母に共役な複素数を分母分子にかける
● $i^○$ の性質
$i^{4n}=1$ ( $n$ は自然数 ）
● 負の数の平方根の計算
$a>0$ とすると $\sqrt{-a}=\sqrt{a}i$
$\sqrt{-a}$ のまま扱わず，虚数単位 $i$ で表して計算することがポイント
計算力は数学の基本！
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