軌跡｜垂直二等分線・角の二等分線

点 $\textrm{A}$ からの距離が $r$ である点 $\textrm{P}$ 全体の集合は円である
すなわち、点 $\textrm{P}$ の軌跡は、点 $\textrm{A}$ を中心とする半径 $r$ の円である

円は定点からの距離が一定であるような点の軌跡である

点 $\textrm{P}$ の軌跡は次の手順で求めることができる
①　軌跡を求める点 $\textrm{P}$ の座標を $(x，y)$ とおく
②　与えられた条件から，$x$，$y$ の関係式を導き，図形が何かを調べる
③　②で求めた図形上のすべての点が，与えられた条件を満たすかどうか調べる
　（明らかな場合は省略してもよい）

点 $\textrm{P}$ の座標を $(x，y)$ とすると
$\textrm{P}$ に関する条件は　$\textrm{AP}=\textrm{BP}$　すなわち　$\textrm{AP}^2=\textrm{BP}^2$
よって　　　　$x^2+(y-2)^2=(x-4)^2+y^2$
整理すると　　$2x-y-3=0$
したがって，点 $\textrm{P}$ の軌跡は，直線 $2x-y-3=0$ である

【補足】
・$\textrm{AP}=\textrm{BP}$ のまま用いると，$\sqrt{x^2+(y-2)^2}=\sqrt{(x-4)^2+y^2}$ となり，どうせ２乗することになるので，先に２乗 $\textrm{AP}^2=\textrm{BP}^2$ している
・求めた直線上のすべての点が，与えられた条件を満たすことが明らかなので、手順③を省略している

２直線のなす角の二等分線は、
(直線①との距離)＝(直線②との距離) となる点 $\textrm{P}$ の軌跡
と考えることができる

求める角の二等分線は，２直線①と②からの距離が等しい点 $\textrm{P}(X，Y)$ の軌跡なので
　　$\displaystyle{\frac{|X+Y-2|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{|7X-Y-2|}{\sqrt{7^2+(-1)^2}}}$
　　$\displaystyle{\frac{|X+Y-2|}{\sqrt{2}}=\frac{|7X-Y-2|}{5\sqrt{2}}}$
　　$5|X+Y-2|=|7X-Y-2|$
　　$\pm5(X+Y-2)=7X-Y-2$
$5(X+Y-2)=7X-Y-2$ より　　$X-3Y+4=0$
$-5(X+Y-2)=7X-Y-2$ より　　$3X+Y-3=0$
求める角の二等分線の方程式は　　$x-3y+4=0$，$3x+y-3=0$

【補足】２直線の方程式に含まれている $x$，$y$ と区別するために $\textrm{P}(X，Y)$ とおいている
　　　　軌跡の方程式を答えるときは、小文字 $x$，$y$ で表す