高校数学Ⅱの【図形と方程式】で学ぶ『連動する点の軌跡』について解説！
「軌跡が苦手」という高校生はとても多いです！
軌跡が苦手という人でも、軌跡の問題が解けるようにわかりやすく解説しました！
今回は、軌跡で求める点以外に動点が与えられている問題を扱います！
この投稿を見れば、『連動する点の軌跡』はバッチリ！
解説する問題はこれです↓
軌跡とは
与えられた条件を満たす点全体の集合が作る図形を、この条件を満たす点の軌跡という。
点 $\textrm{A}$ からの距離が $r$ である点 $\textrm{P}$ 全体の集合は円である
すなわち、点 $\textrm{P}$ の軌跡は、点 $\textrm{A}$ を中心とする半径 $r$ の円である
円は定点からの距離が一定であるような点の軌跡である
軌跡を求める手順
点 $\textrm{P}$ の軌跡は次の手順で求めることができる
① 軌跡を求める点 $\textrm{P}$ の座標を $(x，y)$ とおく
② 与えられた条件から，$x$，$y$ の関係式を導き，図形が何かを調べる
③ ②で求めた図形上のすべての点が，与えられた条件を満たすかどうか調べる
（明らかな場合は省略してもよい）
【補足】
方程式に含まれている $x$，$y$ と区別をするために，軌跡を求める点を $(X，Y)$ とおくこともある。その場合，軌跡の方程式を答えるときは，小文字 $x$，$y$ で表す。
連動する点の軌跡
軌跡を求める点以外に動点が与えられている場合は，その動点を $x$，$y$ 以外の文字でおく
例えば，動点を $(s，t)$ とおいた場合，関係式から $s$，$t$ を消去して $x$，$y$ の方程式を導くことで軌跡が求まる
問題
軌跡として求める点を $(X，Y)$ とおく ➡ $\textrm{P}(X，Y)$ とおく
それ以外の動点を $(s，t)$ とおく ➡ $\textrm{Q}(s，t)$ とおく
与えられた条件を $X$，$Y$，$s$，$t$ の式で表す
条件１：$\textrm{Q}$ が円 $x^2+y^2=4$ 上にある
条件２：$\textrm{P}(X，Y)$ は線分 $\textrm{AQ}$ の中点である
上の式から $s$，$t$ を消去して，$X$，$Y$ の式を導く
点 $\textrm{P}$，$\textrm{Q}$ の座標をそれぞれ $(X，Y)$，$(s，t)$ とする
$\textrm{Q}$ は円 $x^2+y^2=4$ 上にあるので $s^2+t^2=4$ … ①
また，$\textrm{P}$ は線分 $\textrm{AQ}$ の中点なので $\displaystyle{X=\frac{s+4}{2}}$，$\displaystyle{Y=\frac{t}{2}}$
すなわち $s=2X-4$，$t=2Y$
これらを①に代入すると $(2X-4)^2+(2Y)^2=4$
$\{2(X-2)\}^2+(2Y)^2=4$
$4(X-2)^2+4Y^2=4$
$(X-2)^2+Y^2=1$
求める点 $\textrm{P}$ の軌跡は 円 $(x-2)^2+y^2=1$
したがって，中心 $(2，0)$，半径 $1$ の円
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