重複順列とは
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普通の順列と何が違うのかな?
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/03/51bae72de686cf9eec05d28c967f24d3.jpg)
普通の順列は,異なるものだけを並べる順列を考えてきた!
「重複順列」とは,同じものを使うことを許した順列のこと!
順列の復習はこれ↓
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/05/20210519-160x90.jpg)
円順列
円順列の総数 (n-1)! の意味をきちんと理解して円順列の問題を解こう!
重複順列とは
同じものを使うことを許した順列
重複してもいい順列(かぶってもよい)
重複してもいい順列(かぶってもよい)
重複順列の例
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具体例を使って重複順列を考えてみよう!
2つの数字 $1,2$ を重複を許して並べて4桁の整数を作るとき,何個の整数が作れるか
樹形図をかくと $16$ 通り
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/05/b4393fc55cedb317faa1662bc077b3aa.png)
【考え方】
千の位は $1$ または $2$ の $2$ 通り
百の位も $1$ または $2$ の $2$ 通り
十の位も $1$ または $2$ の $2$ 通り
一の位も $1$ または $2$ の $2$ 通り
重複が許されているので,各位とも $2$ 通りになる
積の法則より $2×2×2×2=16$ (通り)
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/03/51bae72de686cf9eec05d28c967f24d3.jpg)
$2$ 個のものを重複を許して $4$ 個並べる順列は,$2^4$ で計算できる!
3つの数字 $1,2,3$ を重複を許して並べて4桁の整数を作るとき,何個の整数が作れるか
重複が許されているので,各位とも $3$ 通りになる
積の法則より $3×3×3×3=81$ (通り)
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/03/949e0b080dc0cd3c8380884ac56b6c57.jpg)
$3$ 個のものを重複を許して $4$ 個並べる順列は,$3^4$ で計算できる!
重複順列の総数
異なる $n$ 種類のものから重複を許して $r$ 個取って並べる順列を
$n$ 個から $r$ 個取る重複順列
という
重複順列の総数
$n$ 個から $r$ 個取る重複順列の総数は $n^r$
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/05/4d67ecb98b4b0f0df08c1930c7f6e5d2.png)
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/03/51bae72de686cf9eec05d28c967f24d3.jpg)
$r^n$ と間違えないように!
上のような図を描いて問題を整理しよう!
まとめ
● 重複順列とは
同じものを使うことを許した順列
重複してもいい順列(かぶってもよい)
● 重複順列の総数
$n$ 個から $r$ 個取る重複順列の総数は $n^r$
問題
次の場合の数を求めよ。
(1) 4個の文字 $a,b,c,d$ を,重複を許して3個だけ1列に並べる
(2) 6人を2つの部屋 $A,B$ に分ける(1人も入らない部屋があってもよい)
(1) 4個の文字 $a,b,c,d$ を,重複を許して3個だけ1列に並べる
(2) 6人を2つの部屋 $A,B$ に分ける(1人も入らない部屋があってもよい)
(1) 4個の文字 $a,b,c,d$ を,重複を許して3個だけ1列に並べる
$4^3=64$ (通り)
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/05/84efeaaa69fbfa29b67456914df567e7.png)
□に入るのはそれぞれ $a,b,c,d$ の4通り
(2) 6人を2つの部屋 $A,B$ に分ける(1人も入らない部屋があってもよい)
$2^6=64$ (通り)
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/05/e06500794d09812a37213669ac549a8d.png)
□に入るのはそれぞれ $A,B$ の2通り
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/03/51bae72de686cf9eec05d28c967f24d3.jpg)
図に表すことで式を作りやすいよ!
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