集合の要素の個数

集合
集合の要素の個数の表し方
和集合の要素の個数
補集合の要素の個数
まとめ
問題

集合

集合…範囲がはっきりしたものの集まり

要素…集合を構成しているひとつひとつ

例　$5$ 以下の自然数全体の集合 $A$

$A$ の要素は $1，2，3，4，5$

集合 $A$ を以下のように表す

$A=\{1，2，3，4，5\}$

$\{　\}$ の中に要素を書くと、その要素が集まった集合を表す

共通部分

$A \cap B$ （$A$ かつ $B$）… $A$ と$B$ の共通部分

$A$ と $B$ の両方に属する集合

和集合

$A \cup B$（$A$ または $B$）… $A$ と $B$ の和集合

$A$ と $B$ の少なくとも一方に属する集合

補集合

$\overline{A}$ … 集合 $A$ の補集合

$U$ は全体集合

詳しい解説はこれ↓

集合

集合の基本である共通部分（かつ）・和集合（または）・補集合を理解していますか？集合は図で考えるのが基本！よく問題で出題される集合をまとめました！

集合の要素の個数の表し方

$n(A)$ … 集合 $A$ の要素の個数

例　$5$ 以下の自然数全体の集合 $A$

$n(A)=5$（集合 $A$ の個数は $5$ 個）

$n(　)$ の $n$ は「個数」という意味の「number」の頭文字と覚えておこう！

和集合の要素の個数

和集合 $A \cup B$ の要素の個数は以下のように表せる

和集合の要素の個数

$n(A \cup B)=n(A)+n(B)-n(A \cap B)$

$n(A)=a$，$n(B)=b$，$n(A \cap B)=c$ とすると

$n(A \cup B)=(a-c)+(b-c)+c$

　　　　　　$=a+b-c$

　　　　　　$=n(A)+n(B)-n(A \cap B)$

$n(A)+n(B)$ だと共通部分である $n(A \cap B)$ を２回足していることになるから，$n(A \cap B)$ を引くんだね！

補集合の要素の個数

$n(\overline{A})=n(U)-n(A)$

全体集合 $U$ の要素の個数から集合 $A$ の要素の個数を引く

まとめ

● 集合

$A \cap B$ （$A$ かつ $B$）… $A$ と$B$ の共通部分

$A \cup B$（$A$ または $B$）… $A$ と $B$ の和集合

$\overline{A}$ … 集合 $A$ の補集合

● 要素の個数

$n(A)$ … 集合 $A$ の要素の個数

● 和集合 $A \cap B$ の要素の個数

$n(A \cup B)=n(A)+n(B)-n(A \cap B)$

● 補集合の要素の個数

$n(\overline{A})=n(U)-n(A)$

問題

全体集合 $U$ の部分集合 $A$，$B$ について，
$n(U)=50$，$n(A)=30$，$n(B)=25$，$n(A \cap B)=15$
であるとき，次の要素の個数を求めよ。
(1)　$A \cup B$
(2)　$\overline{A}$
(3)　$A \cap \overline{B}$
(4)　$\overline{A \cup B}$
(5)　$\overline{A} \cap \overline{B}$