高校数学Ⅱの【図形と方程式】で学ぶ『領域における最大・最小｜x²+y² 』について解説！
領域の応用問題の中でも，難易度の高い問題ですが，
理解して解けるように練習して，周りと差をつけよう！
この投稿を見れば，『領域における最大・最小｜x²+y² 』に関する問題はバッチリ！
解説する問題はこれです↓
解法の手順
手順１ 与えられた不等式を満たす領域 $D$ を図示する
手順２ 与えられた $2$ 次式 $x^2+y^2$ を $k$ とおく（$x^2+y^2=k$ … ①）
➡ $x^2+y^2$ の最大値・最小値は，$k$ の最大値・最小値と等しい
➡ 中心 $(0，0)$，半径 $\sqrt{k}$ の円
手順３ 領域 $D$ と共有点をもつように円①の半径を変化させて，
半径が最大値・最小値になるときを考える
問題
３直線 $x-y+2=0$，$2x+y-8=0$，$x+2y-4=0$ の交点を $\textrm{A}(2，4)$，$\textrm{B}(4，0)$，$\textrm{C}(0，2)$ とする
連立不等式の表す領域を $D$ とすると，
$D$ は右図の斜線部であり，境界線を含む
$x^2+y^2=k$ … ① とおくと，
①は原点を中心とする半径 $\textrm{k}$ の円を表す
求める最大値，最小値は円①が領域 $D$ と共有点をもつときの
$k$ の最大値，最小値である
(i) $k$ が最大となるのは，円①が点 $\textrm{A}(2，4)$ を通るとき
$k$ の最大値は $k=2^2+4^2=20$
(ii) $k$ が最小となるのは，円①が直線 $\textrm{BC}$ に接するとき
接点を $\textrm{H}$ とすると $\displaystyle{\textrm{OH}=\frac{|-4|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{4}{\sqrt{5}}}$
（↑点と直線の距離）
$\textrm{OH}$ と円の半径が等しいので，
$k$ の最小値は $\displaystyle{\sqrt{k}=\frac{4}{\sqrt{5}}}$ より $\displaystyle{k=\frac{16}{5}}$
直線 $\textrm{BC}$ と直線 $\textrm{OH}$ は垂直なので
直線 $\textrm{BC}$ の傾き $\displaystyle{-\frac{1}{2}}$ より，直線 $\textrm{OH}$ の傾きは $2$ である
以上より，直線 $\textrm{OH}$ の方程式は $y=2x$
直線 $\textrm{BC}$：$x+2y-4=0$ と連立すると $\displaystyle{\textrm{H}\left(\frac{4}{5}，\frac{8}{5}\right)}$
(i)，(ii) より，$x^2+y^2$ は
$x=2$，$y=4$ のとき 最大値 $20$
$\displaystyle{x=\frac{4}{5}}$，$\displaystyle{y=\frac{8}{5}}$ のとき 最小値 $\displaystyle{\frac{16}{5}}$
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