１次不定方程式①

１次不定方程式とは

$ax+by=c$ を１次不定方程式という（$a≠0$，$b≠0$）

例　$2x+3y=4$，$5x-2y=3$ など

不定方程式とは

「不定」の意味は「定まらない」

つまり，「解が１つに定まらない方程式」を「不定方程式」という

例えば，

１次方程式 $2x-4=0$ の解は $x=2$ と１つに定まる
連立方程式 $x+y=2$，$2x-y=1$ の解は $x=1$，$y=1$ と１つに定まる

つまり，

文字の数と方程式の数が一致していれば，方程式の解は１つに定まる

１次不定方程式 $x+y=1$ の解は

$(x，y)=(1，0)，(\frac{1}{2}，\frac{1}{2})，(-2，1)\cdots$ のように解が無数に存在する

不定方程式とは

文字の数が方程式の数よりも多く，解が無数に存在する方程式である

　

１次不定方程式 $ax+by=0$ を解く

式変形すると　$3x=4y$

$3$ と $4$ は互いに素（最大公約数が $1$）

右辺に $4$ があるので，$x$ は $4$ の倍数

左辺に $3$ があるので，$y$ は $3$ の倍数

整数 $k$ を用いて表すと，$x=4k$，$y=3k$

　

【別の考え方】

式変形すると　$\displaystyle y=\frac{3}{4}x$

$y$ が整数になるときは必ず $x$ は $4$ の倍数になる

$x$ が $4$ の倍数のとき，整数 $k$ を用いて $x=4k$

このとき，$\displaystyle y=\frac{3}{4}4k=3k$

したがって，$x=4k$，$y=3k$

　

$3x-4y=0$ の解を書き並べてみても

$(x，y)=\cdots，(-8，-6)，(-4，-3)，(0，0)，(4，3)，(8，6)，\cdots$

$x$ が $4$ の倍数，$y$ が $3$ の倍数になる

式変形すると　$3x=-4y$

$3$ と $4$ は互いに素（最大公約数が $1$）なので

$x=4k$，$y=-3k$（または $x=-4k$，$y=3k$）

まとめ

● １次不定方程式とは

　$ax+by=c$ を１次不定方程式という（$a≠0$，$b≠0$）

　例　$2x+3y=4$，$5x-2y=3$ など

● 不定方程式とは

　「解が１つに定まらない方程式」を「不定方程式」という

　文字の数と方程式の数が一致していれば，方程式の解は１つに定まるが

　文字の数が方程式の数よりも多いならば，解が無数に存在する（解が定まらない）

● $ax+by=0$ の解き方

　$ax=-by$ と変形してから左辺と右辺を比較する

　$x=bk$，$y=-ak$（$k$ は整数）

　$x=-bk$，$y=ak$ でもよい

式変形すると　$5x=4y$

$4$ と $5$ は互いに素（最大公約数が $1$）なので，

整数 $k$ を用いて表すと，$x=4k$，$y=5k$

　

式変形すると　$5x=-4y$

$4$ と $5$ は互いに素（最大公約数が $1$）なので

$x=4k$，$y=-5k$（または $x=-4k$，$y=5k$）