高校数学Ⅱで学ぶ『座標平面における２つの円の位置関係』について解説！
２つの円の位置関係は５種類で、「中心間の距離」「半径の和」「半径の差」で決まります！
この投稿を見れば、『座標平面における２つの円の位置関係』はバッチリ！
２つの円の位置関係
２つの円の位置関係は５種類！
[1] 互いに外部にある
[2] 外接する
[3] ２点で交わる
[4] 内接する
[5] 一方が他方の内部にある
[1] から [5] になるにつれて，２つの円の中心が近づいているね！
図をかけば，５種類の位置関係はわかる！
２つの円の位置関係は，『中心間の距離』と『半径の和』と『半径の差』で決まるよ！
２つの円が外接する
２つの円が外接するとき $d=r+r’$ が成り立つ
外接するときは，中心間の距離が「半径の和」と等しい！
円 $(x+2)^2+(y-2)^2=9$ の中心は $(-2，2)$，半径は $3$
中心間の距離 $d$ は
$d=\sqrt{(-2-1)^2+(-2-2)^2}$ 点と点の距離
$=\sqrt{25}$
$=5$
２つの円が外接するとき，中心間の距離が半径の和と等しいので，
求める円の半径を $r$ とすると
$r+3=5$
$r=2$
求める円の方程式は $(x-1)^2+(y+2)^2=4$
２つの円が内接する
２つの円が内接するとき $d=r-r’$ が成り立つ（$r>r’$ のとき）
内接するときは，中心間の距離が「半径の差」と等しい！
円 $(x+2)^2+(y-2)^2=9$ の中心は $(-2，2)$，半径は $3$
中心間の距離 $d$ は
$d=\sqrt{(-2-1)^2+(-2-2)^2}$
$=\sqrt{25}$
$=5$
２つの円が内接するとき，中心間の距離が半径の差と等しいので，
求める円の半径を $r$ とすると
$r-3=5$
$r=8$
求める円の方程式は $(x-1)^2+(y+2)^2=64$
その他の位置関係
その他の位置関係は，「外接」と「内接」を基準に考えたら簡単だよ！
[1] 互いに外部にある
「外接する（$d=r+r’$）」ときよりも中心間の距離 $d$ が大きい
すなわち $d>r+r’$
[5] 一方が他方の内部にある
「内接する（$d=r-r’$）」ときよりも中心間の距離 $d$ が小さい
すなわち $d<r-r’$
[3] ２点で交わる
「内接する（$d=r-r’$）」ときよりも中心間の距離 $d$ が大きい
「外接する（$d=r+r’$）」ときよりも中心間の距離 $d$ が小さい
すなわち $r-r'<d<r+r’$
「外接」と「内接」をきちんとおさえておけば，その他の位置関係の式も分かるね！
円 $(x-2)^2+(y+1)^2=4$ は中心 $(2，-1)$，半径 2
円 $(x-1)^2+(y-1)^2=9$ は中心 $(1，1)$，半径 3
中心間の距離の距離は
$\sqrt{(2-1)^2+(-1-1)^2}=\sqrt{5}$
半径の差は $3-2=1$
半径の和は $3+2=5$
$1<\sqrt{5}<5$ すなわち (半径の差)<(中心間の距離)<(半径の和) より
２つの円は２点で交わる
まとめ
● ２つの円の位置関係
[1] 互いに外部にある
[2] 外接する
[3] ２点で交わる
[4] 内接する
[5] 一方が他方の外部にある
● ２つの円が外接する場合
$(中心間の距離)=(半径の和)$
● ２つの円が内接する場合
$(中心間の距離)=(半径の差)$
● ２つの円の位置関係と式
[1] 互いに外部にある
$(中心間の距離)>(半径の和)$
[2] 外接する
$(中心間の距離)=(半径の和)$
[3] ２点で交わる
$(半径の差)<(中心間の距離)<(半径の和)$
[4] 内接する
$(中心間の距離)=(半径の差)$
[5] 一方が他方の外部にある]
$(中心間の距離)<(半径の差)$
[1] から [5] につれて，中心間の距離は小さくなる
「外接」「内接」を基準に，[1] と [3] と [5] をおさえよう
２つの円の位置関係に関する問題は
『中心間の距離』と『半径の和』と『半径の差』の大小を考えよう！
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