高校数学Ⅱの【三角関数】で学ぶ『２倍角の公式を用いる方程式』について解説！
２倍角の公式を用いて式変形をして，三角関数に関する方程式を解く手順をまとめました！
この投稿を見れば，２倍角の公式を用いる三角関数の方程式はバッチリ！
２倍角の公式
方程式で使う「２倍角の公式」はこの３つ！
$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$
$\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha$
$\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1$
「２倍角の公式」詳しくはこれ↓
正弦の２倍角の公式を用いる方程式
$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$
を使って問題を解いてみよう！
$\sin2\theta+\cos\theta=0$
$2\sin\theta\cos\theta+\cos\theta=0$
$\cos\theta(2\sin\theta+1)=0$
$\cos\theta=0$ または $\displaystyle{\sin\theta=-\frac{1}{2}}$
$0≦\theta<2\pi$ より
$\cos\theta=0$ を解くと $\displaystyle{\theta=\frac{\pi}{2}，\frac{3}{2}\pi}$
$\displaystyle{\sin\theta=-\frac{1}{2}}$ を解くと $\displaystyle{\theta=\frac{7}{6}\pi，\frac{11}{6}\pi}$
以上より
$\displaystyle{\theta=\frac{\pi}{2}， \frac{3}{2}\pi，\frac{7}{6}\pi，\frac{11}{6}\pi}$
$\cos\theta=0$ または $\displaystyle{\sin\theta=-\frac{1}{2}}$ の解き方が分からない場合はこれ↓
余弦の２倍角の公式を用いる問題
$\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha$
$\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1$
を使い分けて問題を解いてみよう！
$\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha$ を用いる問題
$\cos2\alpha$ を $\sin\alpha$ に置き換えたいときは
$\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha$ を使おう！
$\cos2\theta-\sin\theta=0$
$(1-2\sin^2\theta)-\sin\theta=0$
$2\sin^2\theta+\sin\theta-1=0$
$(\sin\theta+1)(2\sin\theta-1)=0$
$\displaystyle{\sin\theta=-1，\frac{1}{2}}$
$0≦\theta<2\pi$ より
$\sin\theta=-1$ を解くと $\displaystyle{\theta=\frac{3}{2}\pi}$
$\displaystyle{\sin\theta=\frac{1}{2}}$ を解くと $\displaystyle{\theta=\frac{\pi}{6}，\frac{5}{6}\pi}$
以上より
$\displaystyle{\theta=\frac{\pi}{6}\pi，\frac{5}{6}\pi，\frac{3}{2}\pi}$
$\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1$ を用いる問題
$\cos2\alpha$ を $\cos\alpha$ に置き換えたいときは
$\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1$ を使おう！
$\cos2\theta-3\cos\theta+2=0$
$(2\cos^2\theta-1)-3\cos\theta+2=0$
$2\cos^2\theta-3\cos\theta+1=0$
$(\cos\theta-1)(2\cos\theta-1)=0$
$\displaystyle{\cos\theta=1，\frac{1}{2}}$
$0≦\theta<2\pi$ より
$\cos\theta=1$ を解くと $\theta=0$
$\displaystyle{\cos\theta=\frac{1}{2}}$ を解くと $\displaystyle{\theta=\frac{\pi}{3}，\frac{5}{3}\pi}$
以上より
$\displaystyle{\theta=0，\frac{\pi}{3}，\frac{5}{3}\pi}$
因数分解に困ったら
「$\sin\theta$ や $\cos\theta$ を含む式の因数分解は計算が難しい」
という人は，置き換えを利用すると計算しやすい。
このように，置き換えてから因数分解して元に戻すと計算しやすい。
慣れてきたら，置き換えずにできるようになります。
まとめ
● 三角関数を含む方程式で用いる２倍角の公式
$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$
$\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha$
$\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1$
● $\cos2\alpha$ の使い分け
$\sin\alpha$ に書き換えたいときは $\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha$
$\cos\alpha$ に書き換えたいときは $\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1$
使う場面を理解して，「２倍角の公式」を使いこなせるようになろう！
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