高校数学Ⅱ『図形と方程式』で学ぶ『２円の交点を通る直線・円』について解説！
苦手な人が多い問題としても有名です！
この投稿を見れば、『２円の交点を通る直線・円』に関する問題はバッチリ！
２円の交点を通る直線または円
２円 $x^2+y^2+lx+my+n$$=0$，$x^2+y^2+l’x+m’y+n’$$=0$ が異なる２点で交わるとき，
$($$x^2+y^2+lx+my+n$$)+k($$x^2+y^2+l’x+m’y+n’$$)=0$ （$k$ は実数）
は， $k=-1$ のとき，２つの交点を通る直線を表す
$k≠-1$ のとき，２つの交点を通る円を表す
（ただし、$x^2+y^2+l’x+m’y+n’=0$ を除く）
例えば、
２円 $x^2+y^2-10$$=0$ と $x^2+y^2+2x-2y-6$$=0$ の交点を通る直線または円は
$($$x^2+y^2+2x-2y-6$$)+k($$x^2+y^2-10$$)=0$ （$k$ は実数） と表せる
ただし、$x^2+y^2-10=0$ を除く
【補足】簡単な方に $k$ をつける方がよい（ここでは $x^2+y^2-10$）
２円 $x^2+y^2-10=0$ と $x^2+y^2+2x-2y-6=0$ の交点は
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x^2+y^2-10=0 \\ x^2+y^2+2x-2y-6=0 \end{array} \right. \end{eqnarray}の解である
これを解くと，$(-3，-1)$，$(1，3)$
$(x^2+y^2+2x-2y-6)+k(x^2+y^2-10)=0$ に $(-3，-1)$ を代入すると
$\{(-3)^2+(-1)^2+2\cdot(-3)-2\cdot(-1)-6\}+k\{(-3)^2+(-1)^2-10\}=0$
等式が成り立つ
$(x^2+y^2+2x-2y-6)+k(x^2+y^2-10)=0$ に $(1，3)$ を代入すると
$(1^2+3^2+2\cdot1-2\cdot3-6)+k(1^2+3^2-10)=0$
等式が成り立つ
よって，$(x^2+y^2+2x-2y-6)+k(x^2+y^2-10)=0$ は，２円 $x^2+y^2-10=0$ と $x^2+y^2+2x-2y-6=0$ の交点 $(-3，-1)$，$(1，3)$ を通る
$k=-1$ を代入すると
$(x^2+y^2+2x-2y-6)-(x^2+y^2-10)=0$
すなわち $x-y+2=0$
$k=-1$ のとき，$x^2$ と $y^2$ が消去されて直線の方程式になる
式変形すると $(k+1)x^2+(k+1)y^2+2x-2y+(-10k-6)=0$
$k≠-1$ のとき，$x^2$ と $y^2$ が消去されず円の方程式になる
問題
(1) ２つの交点を通る直線の方程式を求めよ。
(2) ２つの交点と原点を通る円の方程式を求めよ。
２円 $x^2+y^2-4$$=0$ と $x^2+y^2+4x-2y+4$$=0$ の交点を通る直線または円は
$($$x^2+y^2+4x-2y+4$$)+k($$x^2+y^2-4$$)=0$ （$k$ は実数） … ①
ただし，$x^2+y^2-4=0$ は除く
(1) $k=-1$ のとき，①は直線を表すから
$(x^2+y^2+4x-2y+4)-(x^2+y^2-4)=0$
よって $2x-y+4=0$
(2) ①が原点を通るので $4-4k=0$
すなわち $k=1$
$k=1$ を①に代入すると
$(x^2+y^2+4x-2y+4)+(x^2+y^2-4)=0$
整理すると $x^2+y^2+2x-y=0$
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