2次方程式の解と係数の関係

スポンサーリンク
複素数と方程式

高校数学Ⅱで学ぶ『2次方程式の解と係数の関係』について解説しました!

解と係数の関係とは、「2次方程式の解の和と積が2次方程式の係数で決まる」というものです!

この投稿を見れば、『2次方程式の解と係数の関係』に関する問題はバッチリ!

2次方程式の解と係数の関係

2次方程式の解と係数の関係

2次方程式 ax2+bx+c=0 の解を αβ とすると

解の和 α+β=ba   解の積 αβ=ca

「2次方程式の解と係数の関係」とは,

2次方程式の解の和と積が2次方程式の係数によって決まる

という関係のこと!

問題
2次方程式 2x25x1=0 の解の和と積を求めよ。

 

解答
解と係数の関係より,
 解の和は 52=52
 解の積は 12=12

 

解を実際に求めることなく、解の和と積が求まるね!

証明

2次方程式 ax2+bx+c=0 の解は b±D2a (ただし,D=b24ac
これらを αβ とする

解の和を計算すると
α+β=b+D2a+bD2a=2b2a=ba 解の積を計算すると
αβ=b+D2a×bD2a=(b)2(D)24a2=b2D4a2=b2(b24ac)4a2=4ac4a2=ca

以上より,2次方程式 ax2+bx+c=0 について,

解の和は α+β=ba,解の積は αβ=ca と表せる

問題

問題1
2次方程式 3x22x+1=0 の解を αβ とするとき,次の値を求めよ。
(1) α2+β2    (2) α3+β3

 

解答

解と係数の関係より  α+β=23αβ=13

(1) α2+β2

 α2+β2=(α+β)22αβ

     =(23)2213

     =29

(2) α3+β3

 α3+β3=(α+β)33αβ(α+β)

     =(23)332313

     =1027

<NGな解答>

2次方程式 3x22x+1=0 を解くと x=1±2i3

(1) α2+β2

  =(1+2i3)2+(12i3)2

  

解を求めてから計算すると大変…

 

α2+β2=(α+β)22αβα3+β3=(α+β)33αβ(α+β) はこれを参考にしてください↓↓

対称式
対称式とは,どの2つの変数を変換しても変わらない多項式のことです。例えば,x2+y2 が挙げられます。対称式の中でも,特に x+yxy のことを基本対称式といいます。基本対称式で対称式の値を求める方法をわかりやすく解説しました。
問題2
2次方程式 x2+3x+m=0 において,1つの解が他の解の 2 倍であるとき,定数 m の値と2つの解を求めよ。

 

解答

2つの解は,α2α と表すことができる
解と係数の関係より  α+2α=3α2α=m
すなわち       3α=32α2=m
よって        α=1
このとき       m=2α2=2(1)2=2
また,2つの解は   α=12α=2(1)=2

 

2次方程式の解の和と積についての問題が出題されたら,「解と係数の関係」を思い出せるようにしよう!

コメント

タイトルとURLをコピーしました