２次方程式の解と係数の関係をわかりやすく解説！

高校数学Ⅱで学ぶ『２次方程式の解と係数の関係』について解説しました！

解と係数の関係とは、「２次方程式の解の和と積が２次方程式の係数で決まる」というものです！

この投稿を見れば、『２次方程式の解と係数の関係』に関する問題はバッチリ！

２次方程式の解と係数の関係
証明
問題

２次方程式の解と係数の関係

２次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の解を $\alpha$，$\beta$ とすると

解の和　$\displaystyle{\alpha+\beta=-\frac{b}{a}}$　　　解の積　$\displaystyle{\alpha\beta=\frac{c}{a}}$

「２次方程式の解と係数の関係」とは，

２次方程式の解の和と積が２次方程式の係数によって決まる

という関係のこと！

問題

２次方程式 $2x^2-5x-1=0$ の解の和と積を求めよ。

解答

解と係数の関係より，
　解の和は　$\displaystyle{-\frac{-5}{2}=\frac{5}{2}}$
　解の積は　$\displaystyle{\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}}$

解を実際に求めることなく、解の和と積が求まるね！

証明

２次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の解は $\displaystyle{\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}}$　（ただし，$D=b^2-4ac$）
これらを $\alpha$，$\beta$ とする

解の和を計算すると
\begin{eqnarray} \alpha + \beta &=& \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{D}}{2a} \\ &=& -\frac{2b}{2a}\\ &=& -\frac{b}{a} \end{eqnarray} 解の積を計算すると
\begin{eqnarray} \alpha\beta &=& \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\times\frac{-b-\sqrt{D}}{2a} \\ &=& \frac{(-b)^2-(\sqrt{D})^2}{4a^2} \\ &=& \frac{b^2-D}{4a^2} \\ &=& \frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2} \\ &=& \frac{4ac}{4a^2} \\ &=& \frac{c}{a} \\ \end{eqnarray}

以上より，２次方程式 $ax^2+bx+c=0$ について，

解の和は $\displaystyle{\alpha+\beta=-\frac{b}{a}}$，解の積は $\displaystyle{\alpha\beta=\frac{c}{a}}$ と表せる

問題

問題１

２次方程式 $3x^2-2x+1=0$ の解を $\alpha$，$\beta$ とするとき，次の値を求めよ。
(1)　$\alpha^2+\beta^2$　　　　(2)　$\alpha^3+\beta^3$

解答

解と係数の関係より　　$\displaystyle{\alpha+\beta=\frac{2}{3}}$，$\displaystyle{\alpha\beta=\frac{1}{3}}$

(1)　$\alpha^2+\beta^2$

　$\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta$

　　　　　$\displaystyle{=\left(\frac{2}{3}\right)^2-2\cdot\frac{1}{3}}$

　　　　　$\displaystyle{=-\frac{2}{9}}$

(2)　$\alpha^3+\beta^3$

　$\alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)$

　　　　　$\displaystyle{=\left(\frac{2}{3}\right)^3-3\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}}$

　　　　　$\displaystyle{=-\frac{10}{27}}$

＜NGな解答＞

２次方程式 $3x^2-2x+1=0$ を解くと　$\displaystyle{x=\frac{1±\sqrt{2}i}{3}}$

(1)　$\alpha^2+\beta^2$

　　$\displaystyle{=\left(\frac{1+\sqrt{2}i}{3}\right)^2+\left(\frac{1-\sqrt{2}i}{3}\right)^2}$

　　$\cdots$

解を求めてから計算すると大変…

$\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta$ や $\alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)$ はこれを参考にしてください↓↓

対称式

対称式とは，どの２つの変数を変換しても変わらない多項式のことです。例えば，$x^2+y^2$ が挙げられます。対称式の中でも，特に $x+y$，$xy$ のことを基本対称式といいます。基本対称式で対称式の値を求める方法をわかりやすく解説しました。

問題２

２次方程式 $x^2+3x+m=0$ において，１つの解が他の解の $2$ 倍であるとき，定数 $m$ の値と２つの解を求めよ。

解答

２つの解は，$\alpha$，$2\alpha$ と表すことができる
解と係数の関係より　　$\alpha+2\alpha=-3$，$\alpha\cdot2\alpha=m$
すなわち　　　　　　　$3\alpha=-3$，$2\alpha^2=m$
よって　　　　　　　　$\alpha=-1$
このとき　　　　　　　$m=2\alpha^2=2(-1)^2=2$
また，２つの解は　　　$\alpha=-1$，$2\alpha=2(-1)=-2$