２次方程式の解の公式

『２次方程式の解の公式』は中学校で習いますが，

高校でも使う場面が多いので重要な公式の一つです！

また，ｘの係数が偶数のときの解の公式も使いこなせれば，

計算のスピードが上がります！

２次方程式の解の公式の使い方をわかりやすく解説しました！

解の公式の導出も重要なので，ついでに勉強しておきましょう！

　

２次方程式の解の公式の導出

$$ax^2+bx+c=0$$

$$a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c=0$$

$$a\left\{\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right\}+c=0$$

$$a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a}+c=0$$

$$a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a}$$

$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$$

$$x+\frac{b}{2a}=±\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

$$x=-\frac{b}{2a}±\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

$$x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

　

　

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^2-4・3・(-1)}}{2・3}$$

$$x=\frac{-5±\sqrt{37}}{6}$$

$x$ の係数が偶数のときの解の公式

$x$ の係数が偶数（$2b’$）のとき

２次方程式　$ax^2+2b’x+c=0$　の解は

$$x=\frac{-2b’±\sqrt{4b’^2-4ac}}{2a}$$

$$x=\frac{-2b’±\sqrt{4(b’^2-ac)}}{2a}$$

$$x=\frac{-2b’±2\sqrt{b’^2-ac}}{2a}$$

$$x=\frac{-b’±\sqrt{b’^2-ac}}{a}$$

　

$$\displaystyle{x=\frac{-2±\sqrt{2^2-3・(-1)}}{3}}$$

$$\displaystyle{x=\frac{-2±\sqrt{7}}{3}}$$

まとめ

● ２次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の解は　$\displaystyle{x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

● $b$ が偶数のときの解は　$\displaystyle{x=\frac{-(bの半分)±\sqrt{(bの半分)^2-ac}}{a}}$

問題

解答

(1)　$3x^2-x-1=0$

$$x=\frac{-(-1)±\sqrt{(-1)^2-4・3・(-1)}}{2・3}$$

$$x=\frac{1±\sqrt{13}}{6}$$

　

(2)　$3x^2-2x-2=0$

$$x=\frac{-(-1)±\sqrt{(-1)^2-3・(-2)}}{3}$$

$$x=\frac{1±\sqrt{7}}{3}$$

　

　

🔰基本…まずはこの記事から！
🔵標準…基本問題や公式の理解度が重要！
🔴応用…場合分けなど思考力が要求される！