複素数の範囲で２次方程式を解く方法をわかりやすく解説！

高校数学Ⅱで習う『複素数の範囲で解く２次方程式』について解説しました！

高校数学Ⅰでは、実数の範囲のみで２次方程式を解きました！

高校数学Ⅱで複素数を学んだので、複素数の範囲で２次方程式を解くことができます！

この投稿では、複素数の範囲で２次方程式を解く方法をわかりやすく解説しました！

２次方程式の解の公式
$x$ の係数が偶数のときの解の公式
実数の範囲で２次方程式を解く(数Ⅰ)
複素数の範囲で２次方程式を解く(数Ⅱ)
２次方程式の虚数解の特徴
まとめ

２次方程式の解の公式

２次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の解は　$\displaystyle{x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

証明

　　　　　　　　　　　　　　$ax^2+bx+c=0$

$a$ でくくって　　　　　　　$\displaystyle{a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c=0}$

かっこ内を平方完成して　　$\displaystyle{a\left\{\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right\}+c=0}$

展開して　　　　　　　　　$\displaystyle{a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a}+c=0}$

左辺に移行して　　　　　　$\displaystyle{a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a}}$

両辺を $a$ で割って　　　　$\displaystyle{\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}}$

　　　　　　　　　　　　　$\displaystyle{x+\frac{b}{2a}=±\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

　　　　　　　　　　　　　$\displaystyle{x=-\frac{b}{2a}±\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

　　　　　　　　　　　　　$\displaystyle{x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

$x$ の係数が偶数のときの解の公式

$ax^2+bx+c=0$ の $x$ の係数が偶数のときの解は，

　　$\displaystyle{x=\frac{-(bの半分)±\sqrt{(bの半分)^2-ac}}{a}}$

証明

$x$ の係数が偶数（$2b’$）のとき　　$ax^2+2b’x+c=0$ の解は

　　　$\displaystyle{x=\frac{-2b’±\sqrt{4b’^2-4ac}}{2a}}$

　　　$\displaystyle{x=\frac{-2b’±\sqrt{4(b’^2-ac)}}{2a}}$

　　　$\displaystyle{x=\frac{-2b’±2\sqrt{b’^2-ac}}{2a}}$

　　　$\displaystyle{x=\frac{-b’±\sqrt{b’^2-ac}}{a}}$

つまり，$ax^2+bx+c=0$ の $b$ が偶数のときの解の公式は

　　　$\displaystyle{x=\frac{-(bの半分)±\sqrt{(bの半分)^2-ac}}{a}}$

$x$ の係数が偶数のときは，これを使えるようにしよう！

実数の範囲で２次方程式を解く(数Ⅰ)

数学Ⅰでは，２次方程式を『実数範囲』で解いていた！

復習で問題を解いてみよう！

問題

次の２次方程式を解け。
(1)　$2x^2-3x-4=0$
(2)　$3x^2+4x-2=0$
(3)　$2x^2-2x+3=0$

解答

(1)　$2x^2-3x-4=0$

　$\displaystyle{x=\frac{-(-3)±\sqrt{(-3)^2-4\cdot2\cdot(-4)}}{4}=\frac{3±\sqrt{41}}{4}}$

(2)　$3x^2+4x-2=0$

　$\displaystyle{x=\frac{-2±\sqrt{2^2-3\cdot(-2)}}{3}=\frac{-2±\sqrt{10}}{3}}$

(3)　$2x^2-2x+3=0$

　$\displaystyle{x=\frac{-(-1)±\sqrt{(-1)^2-2\cdot3}}{2}=\frac{1±\sqrt{-5}}{2}}$

　$\sqrt{　}$ の中に負の数が入るので，実数解はない

実数（Real number） $\cdots$　数直線上にとれる数（現実世界に存在する数）
$\sqrt{-5}$ は $2$ 乗したら $-5$（負の数）になるので，実数ではない
数学Ⅰでは実数しか登場しないので，(3) の答えは「解はない」（実数解はない）が正解

複素数の範囲で２次方程式を解く(数Ⅱ)

複素数とは

$2$ 乗して $-1$ になる数を $i$ とする
すなわち，　$i=\sqrt{-1}$　とする

複素数　$\cdots$　$a+bi$ で表せる数

$\sqrt{負}$ の表し方

ポイント

$a>0$ のとき　$\sqrt{-a}=\sqrt{a}i$

$\sqrt{-5}=\sqrt{5}i$ と表すことができるので，複素数の範囲で先ほどの (3) を解くと

解答

(3)　$2x^2-2x+3=0$

　$\displaystyle{x=\frac{-(-1)±\sqrt{(-1)^2-2\cdot3}}{2}=\frac{1±\sqrt{-5}}{2}=\frac{1±\sqrt{5}i}{2}}$

実数の範囲では，「実数解はない」という答えだったが，複素数の範囲では解を表すことができる。
この解を　虚数解　という。

ポイント

２次方程式には，実数解（$i$ がつかない）と虚数解（$i$ がつく）がある