2次関数の最大・最小の場合分け|定義域の両端に定数を含む

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定義域の両端に定数を含む2次関数の最大・最小の場合分け 数学Ⅰ

『2次関数の最大・最小』に関する問題は頻出です!
数学Ⅰの2次関数の分野だけでなく,他の分野の問題を解く際にも重要になります!

『2次関数の最大・最小』に関する問題の中でも苦手な人が多いのが,『場合分けが必要な問題』です!

この投稿では,場合分けが必要な問題の中でも
定義域の両端に定数を含む(定義域の両端が動く)2次関数の最大・最小の問題』を解説します!

「2次関数の最大・最小の場合分けの問題が苦手」という人にオススメの投稿です!

これを見れば,『2次関数の最大・最小の場合分けの問題』はバッチリ

問題

問題
2次関数 $f(x)=x^2-4x+5 (a≦x≦a+2)$ の最小値とそのときの $x$ の値を求めよ。

 

答えを見る

 

問題
2次関数 $f(x)=x^2-4x+5 (a≦x≦a+2)$ の最大値とそのときの $x$ の値を求めよ。

 

答えを見る

 

ポイント
『軸』や『定義域』に定数を含む2次関数の最大・最小に関する問題は、
『軸』や『定義域』の位置によって最大・最小が変わるので、場合分けを考える

 

2次関数の最大・最小の場合分けに関する問題のコツとポイントをまとめたよ!

2次関数の平方完成と軸・頂点

2次関数 $y=ax^2+bx+c$$y=a(x-p)^2+q$ に変形することを『平方完成』という。

平方完成して,$y=a(x-p)^2+q$ の形に変形することで,軸が直線 $x=p$,頂点が $(p,q)$ であることがわかる。

軸と頂点は,座標平面における2次関数の位置を表すので,『2次関数の最大・最小』の問題を解く際に重要です。

平方完成|定数が含まれる場合
2次関数でよく出題される計算といったら『平方完成』 『平方完成』は2次関数の『軸』と『頂点』を求める大切な計算! 2次関数の大問の最初にする計算なので,間違えないことが必要不可欠! この投稿をで,x以外の文字が含まれるときの『平方完成』をマスターできる!

定義域における2次関数の最大・最小

定義域と値域

関数 $y=f(x)$ において

定義域 … 変数 $x$ のとりうる値の範囲

値域  … $x$ が定義域内のすべての値をとるときの $y$ のとりうる値の範囲

グラフを図示するとき,定義域内は実線,定義域外は点線で表すことが多い

定義域における2次関数の最大・最小

2次関数 $y=x^2$ ($-1≦x≦2$) の最大値および最小値,そのときの $x$ の値

 
※定義域は関数の後ろに( )で付けられることが多い

$x=2$ で最大値 $4$,$x=0$ で最小値 $0$

 

最大・最小の答えのテンプレート
$x=$○ で最大値,$x=$○ で最小値○

2次関数の最大・最小の問題を解くコツ

シンプルな図をかく

グラフが図示できれば,最大・最小は簡単に求まるね!

グラフをきちんとかけば確実に求まるけど,

もう少しシンプルな図を使って解く方法もあるよ!

2次関数 $y=x^2$ ($-1≦x≦2$) の最大値および最小値,そのときの $x$ の値

 

$x$ 軸や $y$ 軸をかいていないね!

最大と最小をとる位置がわかればいいから,

・グラフの形(下に凸か上に凸か)

・軸と定義域の位置関係

を図にすればOK!

2次関数の最大・最小の問題を解くコツ
『グラフの形(下に凸か上に凸か)』『軸と定義域の位置関係』を図にして考える

最大・最小の候補

2次関数に最大値・最小値が存在するとすれば,『頂点』か『定義域の端点』のいずれかでとる。また,放物線は軸に関して対称である。

例えば,下に凸の放物線の場合,関数の値は

軸から遠くなるほど大きくなり,
軸から近くなるほど小さくなる。

上に凸の場合はその逆となる。

2次関数の最大・最小の問題を解くコツ
・最大値・最小値は,『頂点』か『定義域の端点』のいずれかでとる
・放物線は軸に関して対称
・軸と定義域の端点の距離を注意してグラフをかく

定義域の両端に定数を含むときの場合分け

定義域の両端に定数を含むときの場合分け

 最小値は、軸が定義域の右・内・左で場合分け

 最大値は、軸が定義域の中央より右・中央・中央より左で場合分け

上に凸の場合
 最小値は、軸が定義域の中央より左・中央・中央より右で場合分け

 最大値は、軸が定義域の左・内・右で場合分け

 

下に凸の最値と上に凸の最

下に凸の最値と上に凸の最

の場合分けの考え方は同じだね!

復習

問題
2次関数 $f(x)=x^2-4x+5 (a≦x≦a+2)$ の最小値とそのときの $x$ の値を求めよ。

 

解答

 $f(x)=(x-2)^2+1$

 軸は 直線 $x=2$,頂点 $(2,1)$

 $a<0$ のとき   $x=a+2$ で最小値 $a^2+1$
 $0≦a≦2$ のとき  $x=2$ で最小値 $1$
 $2<a$ のとき   $x=a$ で最小値 $a^2-4a+5$

 

問題
2次関数 $f(x)=x^2-4x+5 (a≦x≦a+2)$ の最大値とそのときの $x$ の値を求めよ。

 

解答

 $f(x)=(x-2)^2+1$

 軸は 直線 $x=2$,頂点 $(2,1)$

 $a<1$ のとき  $x=a$ で最大値 $a^2-4a+5$
 $a=1$ のとき  $x=1,3$ で最大値 $2$
 $1<a$ のとき  $a=a+2$ で最大値 $a^2+1$

 

あなたのオススメ

 

🔰基本…まずはこの記事から!
🔵標準…基本問題や公式の理解度が重要!
🔴応用…場合分けなど思考力が要求される!

数学Ⅰ 2次関数
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