『２次関数の最大・最小』に関する問題は頻出です！
数学Ⅰの２次関数の分野だけでなく，他の分野の問題を解く際にも重要になります！
『２次関数の最大・最小』の問題が苦手！
『２次関数の最大・最小』を基本から学びたい！
という人にオススメの投稿です！
これを見れば，『２次関数の最大・最小』の基本はバッチリ！
２次関数の平方完成と軸・頂点
２次関数 $y=ax^2+bx+c$ を $y=a(x-p)^2+q$ に変形することを『平方完成』という。
平方完成して，$y=a(x-p)^2+q$ の形に変形することで，軸が直線 $x=p$，頂点が $(p，q)$ であることがわかる。
軸と頂点は，座標平面における２次関数の位置を表すので，『２次関数の最大・最小』の問題を解く際に重要です。
平方完成の復習はこれ↓
２次関数の最大・最小
$a>0$ のとき（下に凸） $x=p$ で最小値 $q$，最大値はない
$a<0$ のとき（上に凸） $x=p$ で最大値 $q$，最小値はない
定義域における２次関数の最大・最小
定義域と値域
関数 $y=f(x)$ において
定義域 … 変数 $x$ のとりうる値の範囲
値域 … $x$ が定義域内のすべての値をとるときの $y$ のとりうる値の範囲
グラフを図示するとき，定義域内は実線，定義域外は点線で表すことが多い
定義域における２次関数の最大・最小
※定義域は関数の後ろに（ ）で付けられることが多い
$x=2$ で最大値 $4$，$x=0$ で最小値 $0$
２次関数の最大・最小の問題を解くコツ
シンプルな図をかく
グラフが図示できれば，最大・最小は簡単に求まるね！
グラフをきちんとかけば確実に求まるけど，
もう少しシンプルな図を使って解く方法もあるよ！
$x$ 軸や $y$ 軸をかいていないね！
最大と最小をとる位置がわかればいいから，
・グラフの形（下に凸か上に凸か）
・軸と定義域の位置関係
を図にすればOK！
最大・最小の候補
２次関数に最大値・最小値が存在するとすれば，『頂点』か『定義域の端点』のいずれかでとる。また，放物線は軸に関して対称である。
例えば，下に凸の放物線の場合，関数の値は
軸から遠くなるほど大きくなり，
軸から近くなるほど小さくなる。
上に凸の場合はその逆となる。
・放物線は軸に関して対称
・軸と定義域の端点の距離を注意してグラフをかく
問題
(1) $y=x^2-4x+1$ ($0≦x≦3$)
(2) $y=-x^2-2x+3$ ($0≦x≦2$)
(1) $y=(x-2)^2-3$ 軸は $x=2$，頂点は $(2，-3)$
$x=0$ で最大値 $1$，$x=2$ で最小値 $-3$
(2) $y=-(x+1)^2+4$ 軸は $x=-1$，頂点は $(-1，4)$
$x=0$ で最大値 $3$，$x=2$ で最小値 $-5$
コツをおさえて，素早く最大・最小が求められるように練習しよう！
🔵最大・最小からの係数の決定
🔴軸に定数を含む２次関数の最大・最小の場合分け
🔴定義域の片端に定数を含む２次関数の最大・最小の場合分け
🔴定義域の両端に定数を含む２次関数の最大・最小の場合分け
🔰基本形と一般形の利用
🔰２次方程式の解の公式
🔰２次方程式の実数解の個数と判別式
🔰２次関数のグラフとｘ軸の共有点
🔰２次関数のグラフとｘ軸の位置関係
🔰基本…まずはこの記事から！
🔵標準…基本問題や公式の理解度が重要！
🔴応用…場合分けなど思考力が要求
コメント