２次関数の決定｜基本形と一般形

『２次関数の決定』とは

２次関数の軸や頂点や通る点が与えられているとき，

その２次関数を求めるという問題のことです！

『２次関数の決定』の問題を解くには

２次関数の『基本形』と『一般形』を使い分ける必要があります！

この投稿を見れば，『２次関数の決定』の問題は完璧！

２次関数の基本形と一般形

　

　

\begin{eqnarray} y &=& x^2-2x+3 \\ &=& (x-1)^2-1+3 \\ &=& (x-1)^2+2 \end{eqnarray}

　

　$y=x^2-2x+3$ を式変形したのが $y=(x-1)^2+2$ なので、

　$y=x^2-2x+3$ と $y=(x-1)^2+2$ は同じ２次関数になります

　$y=(x-1)^2+2$ を『基本形』，$y=x^2-2x+3$ を『一般形』とよびます

基本形 $y=a(x-p)^2+q$

　基本形　$y=a(x-p)^2+q$

　　　軸　直線 $x=p$
　　　頂点　$(p，q)$

　

　一般形 $y=ax^2+bx+c$ だと「軸」や「頂点」が分かりません

一般形 $y=ax^2+bx+c$

　

　基本形 $y=a(x-p)^2+q$ に $(1，2)$ を代入すると

$2=a(1-p)^2+q$

　一般形 $y=ax^2+bx+c$ に $(1，2)$ を代入すると

$2=a+b+c$

　このように，一般形の方が基本形よりも点を代入した後の式がシンプルになります

基本形と一般形の使い分け

基本形を用いる問題

(1)　頂点が $(2，1)$ で，点 $(4，5)$ を通る

　頂点が $(2，1)$ より　　$y=a(x-2)^2+1$ とおける

　点 $(4，5)$ を通るので　　$5=a(4-2)^2+1$　　←「点を通る」は「代入しても成り立つ」

　よって　　$a=1$

　求める２次関数は 　$y=(x-2)^2+1$　【 $y=x^2-4x+5$ でも可】

　
　
(2)　軸が $x=1$ で，２点 $(0，1)$、$(3，-2)$ を通る

　軸が $x=1$ より　　$y=a(x-1)^2+q$ とおける

　点 $(0，1)$ を通るので　　$1=a(0-1)^2+q$

$a+q=1$　… ①

　点 $(3，-2)$ を通るので　　$-2=a(3-1)^2+q$

$4a+q=-2$　… ②

　①，②を解いて　　$a=-1$、$q=2$

　求める２次関数は　 $y=-(x-1)^2+2$　【 $y=-x^2+2x+1$ でも可】

　

一般形を用いる問題

　$y=ax^2+bx+c$ とおくと

　$(1，1)$ を通るので　　$a+b+c=1$　… ①

　$(2，6)$ を通るので　　$4a+2b+c=6$　… ②

　$(3，13)$ を通るので　　$9a+3b+c=13$　… ③

　②－①より　　$3a+b=5$　… ④

　③－②より　　$5a+b=7$　… ⑤

　④，⑤を解いて　　$a=1$，$b=2$

　①に代入して　　$c=-2$

　求める２次関数は　　$y=x^2+2x-2$　【 $y=(x+1)^2-3$ でも可】

　

まとめ

２次関数には『基本形』と『一般形』があり，与えられた条件によって以下のように使い分ける

　基本形　$y=a(x-p)^2+q$　軸や頂点に関する条件がある

　一般形　$y=ax^2+bx+c$　通る３点の条件がある

問題

解答

(1)　頂点が $(-1，4)$ で，点 $(2，-5)$ を通る

　頂点が $(-1，4)$ より　　$y=a(x+1)^2+4$ とおける

　点 $(2，-5)$ を通るので　　$-5=a(2+1)^2+4$　　

　よって　　$a=-1$

　求める２次関数は 　$y=-(x+1)^2+4$　【 $y=-x^2-2x+3$ でも可】
　
(2)　軸が $x=2$ で，２点 $(3，-5)$，$(-1，11)$ を通る

　軸が $x=2$ より　　$y=a(x-2)^2+q$ とおける

　点 $(3，-5)$ を通るので　　$-5=a(3-2)^2+q$

$a+q=-5$　… ①

　点 $(-1，11)$ を通るので　　$11=a(-1-2)^2+q$

$9a+q=11$　… ②

　①，②を解いて　　$a=2$、$q=-7$

　求める２次関数は　 $y=2(x-2)^2-7$　【 $y=2x^2-8x+1$ でも可】

　

(3)　３点 $(1，3)$，$(2，6)$，$(3，13)$ を通る

　$y=ax^2+bx+c$ とおくと

　$(1，3)$ を通るので　　$a+b+c=3$　… ①

　$(2，6)$ を通るので　　$4a+2b+c=6$　… ②

　$(3，13)$ を通るので　　$9a+3b+c=13$　… ③

　②－①より　　$3a+b=3$　… ④

　③－②より　　$5a+b=7$　… ⑤

　④，⑤を解いて　　$a=2$、$b=-3$

　①に代入して　　$c=4$

　求める２次関数は　　$y=2x^2-3x+4$　

　【 $y=2(x-\frac{3}{4})^2+\frac{23}{8}$ でも可】

　

　

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